ディリクレ定理

テンプレート:No footnotes ディリクレ定理 (ディリクレていり、英：？) は、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレが証明したディリクレの定理(Dirichlet's_theorem)という名前が名付けられた定理のひとつで、フーリエ級数の収束についての定理である^[1]。

解説

この定理は以下の通りに書くことができる。

実関数 $f$ が周期 2 $𝐿$ 周期関数でありながら、連続関数、そして開区間テンプレート:Open-open で極値が有限個存在するならば、関数 $f$ のフーリエ級数 $𝑆_{N} (f) (θ) = \sum_{n = - N}^{N} c_{n} \exp (\frac{i n π θ}{L})$ は全ての $θ$ について $f$ に一様収束する。(此処で $c_{n}$ はフーリエ係数である。)

この記事では便宜上関数 $f$ の周期を 2 $π$ と設定した。

関数 $f$ が閉区間テンプレート:Closed-closedでリーマン積分可能でありながら、ある $θ$ ∈ テンプレート:Closed-closed で連続ならばフェイェールの定理によって整数 $n$ と $k$ について $n \to \infty$ の時、 $σ_{k n, n} (f) (θ) \to f (θ)$ が成り立つ。そこで $σ_{N, K} (f) (θ) = \sum_{m = N}^{N + K - 1} (\frac{𝑆_{m} (f) (θ)}{K})$ だ。

もし、関数 $f$ のフーリエ係数 $c_{n}$ がランダウの記号を使って $c_{n} = O (\frac{1}{| n |})$ と書くことが出来れば連続な所で $f$ のフーリエ級数は $f$ に収束する。

上記の「実関数 $f$ が周期 2 $π$ の周期関数でありながら、連続関数、そして開区間テンプレート:Open-open で極値が有限個存在する」という条件が $c_{n} = O (\frac{1}{| n |})$ を成り立たせる。その上、連続関数なので $f$ に一様収束することも分かる。

日本評論社編、エリアス・M. スタインラミ・シャカルチ著、新井仁之、杉本充、高木啓行、千原浩之訳「フーリエ解析入門」2007年。ISBN 978-4-535-60891-7