ハーディゼータ関数

ハーディゼータ関数（ハーディゼータかんすう、テンプレート:Lang-en）は数学において、臨界線に沿ったリーマンゼータ関数を研究するために使用される関数である。

定義式

ハーディゼータ関数はリーマンゼータ関数とリーマン・ジーゲルのシータ関数を用いて次のようにあらわせる^[1]^[2]。

Z (t) = e^{i θ (t)} ζ (\frac{1}{2} + i t) .

$Z (t)$ の零点は $ζ (\frac{1}{2} + i t)$ の非自明零点と一致している。また、 $Z (t)$ は実関数であり^[1]^[2]、臨界域において正則であるテンプレート:要出典。

Z (t) = 2 \sum_{n^{2} < t / 2 π} n^{- 1 / 2} \cos (θ (t) - t \log n) + R (t),

とあらわせる^[1]^[2]^[3]^[4]。

ここで誤差項 $R (t)$ は、

$u = {(\frac{t}{2 π})}^{1 / 4}$ , $N = ⌊ u^{2} ⌋$ , $p = u^{2} - N$ として

R (t) \sim (- 1)^{N - 1} (Ψ (p) u^{- 1} - \frac{1}{96 π^{2}} Ψ^{(3)} (p) u^{- 3} + \dots)

とあらわせる。

ただし

Ψ (z) = \frac{\cos 2 π (z^{2} - z - 1 / 16)}{\cos 2 π z}

である^[4]。

他の効率的な $Z (t)$ の級数も存在する。特に不完全ガンマ関数を使用する級数が知られている。

Q (a, z) = \frac{Γ (a, z)}{Γ (a)} = \frac{1}{Γ (a)} \int_{z}^{\infty} u^{a - 1} e^{- u} d u

特に良い例は

Z (t) = 2 ℜ (e^{i θ (t)} (\sum_{n = 1}^{\infty} Q (\frac{s}{2}, π i n^{2}) - \frac{π^{s / 2} e^{π i s / 4}}{s Γ (\frac{s}{2})}))