リーマン・ジーゲルの公式

テンプレート:出典の明記 数学におけるリーマン–ジーゲルの公式（リーマン・ジ－ゲルのこうしき、テンプレート:Lang-en-short）はリーマンゼータ函数の「近似函数等式」（二つのディリクレ級数の和によるゼータ函数の近似）の誤差項に対するテンプレート:Ill2である。この公式は、テンプレート:Harvtxt が1850年代からのベルンハルト・リーマンの未発表原稿において発見した。ジーゲルはこれをリーマン–ジーゲル積分公式（ゼータ函数の周回積分表示）から導いた。この積分公式はしばしばリーマン–ジーゲルの公式の値の計算に（ときには計算を劇的に速くするテンプレート:Ill2と組み合わせて）用いられる。臨界帯に沿って用いるとき、公式はハーディゼータ函数に対する公式となり、しばしば有用である。

テンプレート:Mvar を非負整数とするとき、ゼータ函数は $$\zeta (s)=\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^s}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^M\frac{1}{n^{1-s}}+R(s)$$ に等しい（近似函数等式）。ただし、$$\gamma (s)={\pi }^{\frac{1}{2}-s}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(1-s))}$$ は函数等式 テンプレート:Math に現れる乗因子で、周回積分 $$R(s)=\frac{-\mathrm{\Gamma }(1-s)}{2\pi i}\int \frac{(-x{)}^{s-1}{e}^{-Nx}}{e^x-1}dx$$ の積分路は テンプレート:Math を基点（始点および終点）とし、絶対値高々 テンプレート:Math の特異点をすべて囲む。

この近似函数等式は誤差項の大きさに対する評価を与える テンプレート:Harvtxt および テンプレート:Harvtxt では、この誤差項 テンプレート:Math の テンプレート:Math に関する負冪の級数としての漸近展開を与えるために、この積分にテンプレート:Ill2を適用して、リーマン–ジーゲルの公式を導出している。応用上、テンプレート:Mvar はふつう臨界帯上にとり、正整数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の近くに取る。テンプレート:Harvtxt はリーマン–ジーゲルの公式の誤差に関してよい評価を求めている。

リーマンの積分公式

リーマンは

$\underset{0\searrow 1}{\int }\frac{e^{-i\pi u^2+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}du=\frac{e^{i\pi p^2}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}$

を示した。ここで積分路は、テンプレート:Math と テンプレート:Math の間を通過する傾き テンプレート:Math の直線である テンプレート:Harv。

彼はこれを使って、次に示すゼータ関数の積分公式を導き出した。

${\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)={\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)\underset{0\swarrow 1}{\int }\frac{x^{-s}{e}^{\pi i{x}^2}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}dx+{\pi }^{-\frac{1-s}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1-s}{2}\right)\underset{0\searrow 1}{\int }\frac{x^{s-1}{e}^{-\pi i{x}^2}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}dx$

関連項目

• ガンマ関数

• オイラーの定数

• リーマンゼータ関数

• ハーディゼータ関数

• リーマン・ジーゲルのシータ関数

参考文献

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• テンプレート:Citation Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

外部リンク

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• テンプレート:Mathworld