垂足曲線

点テンプレート:Mvarに対する曲線テンプレート:Mvarの垂足の幾何学的な構築

垂足曲線（すいそくきょくせん、テンプレート:Lang-en-short）は、曲線の接線に対する、固定された点の直交射影が成す曲線である。より正確に言えば、平面曲線テンプレート:Mvarと点テンプレート:Mvar （Pedal point）について、テンプレート:Mvarを通るテンプレート:Mvarの接線の垂足（接線と垂線の交点）テンプレート:Mvarの軌跡を垂足曲線という。逆に、曲線テンプレート:Mvar上の任意の点テンプレート:Mvarで接する接線テンプレート:Mvarのある垂線が、ある点テンプレート:Mvarを通るなら、その接線の垂足は垂足曲線を成す。

垂足曲線を補完するために、四角形テンプレート:Mvarが長方形となるように点テンプレート:Mvarを取る。点テンプレート:Mvarの軌跡はcontrapedal curveと呼ばれる。

曲線のorthotomicは、テンプレート:Mvarを拡大の中心として垂足を2倍に拡大した曲線である。これは、テンプレート:Mvarを接線テンプレート:Mvarで鏡映した点の軌跡である。

垂足曲線は、曲線テンプレート:Mathの垂足曲線をテンプレート:Mathとして、テンプレート:Mathと定義していったときの一連の曲線の最初の曲線である。この曲線内で、テンプレート:Mathをテンプレート:Mathの n th positive pedal curveという。逆にテンプレート:Mathはテンプレート:Mathのn番目の負垂足線 （nth negative curve） または逆垂足曲線と呼ばれる。

方程式

直交座標によるアプローチ

テンプレート:Mvarを原点とする。また、曲線テンプレート:Mvarをテンプレート:Mathとする。テンプレート:Mvar上の点テンプレート:Mathの接線は次の形で書くことができる。

$\cos \alpha x+\sin \alpha y=p$

このとき位置ベクトルテンプレート:Mathは線分テンプレート:Mvar（接線の垂線）と平行で長さが等しい。したがって、テンプレート:Mvarは極座標でテンプレート:Math と表せる。テンプレート:Mathをテンプレート:Mathで置き換えると極形式の垂足曲線の形を得る。

楕円（黒）の垂足曲線（赤）。楕円はa=2,b=1で垂足曲線は4x²+y²=(x²+y²)²。

例として、楕円の垂足曲線を挙げる。楕円の方程式は次の式で表される。

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

楕円上の点テンプレート:Mathにおける接線は

$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

である。これを上記の形に書き換えると次のようになる。

$\frac{x_0}{a^2}=\frac{\cos \alpha }{p},\frac{y_0}{b^2}=\frac{\sin \alpha }{p}.$

楕円の方程式からテンプレート:Mathをテンプレート:仮リンクして

$a^2{\cos }^2\alpha +b^2{\sin }^2\alpha =p^2,$

を得る。テンプレート:Mathに置き換えると

$a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta =r^2,$

となる。この式は容易にデカルト座標の方程式に置き換えることができる。

$a^2{x}^2+b^2{y}^2=(x^2+y^2{)}^2.$

極方程式によるアプローチ

テンプレート:Mvarを原点とする。曲線テンプレート:Mvarを極座標テンプレート:Mathで与える。テンプレート:Mathをテンプレート:Mvar上の点、テンプレート:Mathを前項と同様に定義する。テンプレート:Mvarを接線及び動径の偏角として、

$r=\frac{dr}{d\theta }\tan \psi$

より

$p=r\sin \psi ,\alpha =\theta +\psi -\frac{\pi }{2}.$

これらの方程式はテンプレート:Mathを垂足曲線の等式の変数テンプレート:Mathに置き換えることができる。

例として、円テンプレート:Mathの垂足曲線を考える。

$a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi$

であるから

$\tan \psi =-\cot \theta ,\psi =\frac{\pi }{2}+\theta ,\alpha =2\theta .$

と、

$p=r\sin \psi =r\cos \theta =a{\cos }^2\theta =a{\cos }^2\frac{\alpha }{2}.$

が成り立つ。これらを解いて、

$r=a{\cos }^2\frac{\theta }{2}.$

垂足方程式によるアプローチ

曲線の垂足座標による表示と垂足曲線は深い関係にある。原点テンプレート:Mvarをpedal pointとして取る。テンプレート:Math における動径と曲線の成す角テンプレート:Mvarは、垂足曲線の対応するテンプレート:Mvarにおける角と等しい。テンプレート:Mvarを垂線の長さ（テンプレート:Mvarから垂足テンプレート:Mvarまでの距離テンプレート:Mvar）、テンプレート:Mvarを対応する垂足曲線のテンプレート:Mvarを通る垂線の長さとすれば、三角形の相似より、

$\frac{p}{r}=\frac{q}{p}.$

これより、曲線の垂足方程式をテンプレート:Mathとして、垂足曲線の垂足方程式は次の式で表せる。

$f(r,\frac{r^2}{p})=0$

この式から曲線のnth positive/negative pedal curveの垂足方程式は簡単に求めることができる

パラメトリック方程式によるアプローチ

同じ楕円のContrapedal curve

楕円のエボリュート曲線の垂足曲線。楕円のcontrapedal curveと一致する。

$\overrightarrow{v}=P-R$とする。また、$\overrightarrow{v}$をテンプレート:仮リンクに分解して次のように書く。

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_{\parallel }+{\overrightarrow{v}}_{\perp }$,

${\overrightarrow{v}}_{\parallel }$はテンプレート:Mvar方向のベクトルとなる。

テンプレート:Mvarをパラメタとして曲線テンプレート:Mvarの垂足曲線のパラメトリック方程式は

$t\mapsto c(t)+\frac{c^{\prime }(t)\cdot (P-c(t))}{|c^{\prime }(t){|}^2}{c}^{\prime }(t)$

で表される（テンプレート:Mvarが0または定義できない点は無視する）。

曲線を媒介的に定義して、pedal pointが(0,0)である曲線の垂足曲線は、

$X[x,y]=\frac{(x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime })y^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}$

$Y[x,y]=\frac{(y{x}^{\prime }-x{y}^{\prime })x^{\prime }}{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}.$

と表せる。contrapedal curveは次の式で与えることができる。

$t\mapsto P-\frac{c^{\prime }(t)\cdot (P-c(t))}{|c^{\prime }(t){|}^2}{c}^{\prime }(t)$

同じpedal pointでは、contrapedal curveは曲線の縮閉線の垂足曲線と一致する。

幾何学的な性質

点テンプレート:Mvarを通る直線と、曲線の接線が直角を成すような剛体移動を考える。この角の頂点テンプレート:Mvarは曲線とテンプレート:Mvarの垂足曲線をたどる。角が動けばテンプレート:Mvarに対する動く方向はテンプレート:Mvarと平行になり、テンプレート:Mathの動く方向は接線テンプレート:Mathに平行になる。したがって瞬間中心は、テンプレート:Mvarのテンプレート:Mvarを通る垂心と、テンプレート:Mvarのテンプレート:Mathを通る垂線の交点テンプレート:Mvarである。テンプレート:Mvarにおける垂足曲線の接線はテンプレート:Mvarのテンプレート:Mvarを通る垂線と一致する。

直径をテンプレート:Mvarとする円は長方形テンプレート:Mvarに外接し、またテンプレート:Mvarを直径に持つ。したがって円と垂足曲線はどちらもテンプレート:Mvarと直交し、テンプレート:Mvarで接する。 故に、垂足曲線はもとの曲線上の点をテンプレート:Mathとして、直径をテンプレート:Mvarとする円の包絡線となる。

直線テンプレート:Mvarは曲線の法線であり、その包絡線は曲線の縮閉線である。故にテンプレート:Mvarは縮閉線の接線で、テンプレート:Mvarはテンプレート:Mvarを通る縮閉線の接線の垂足である。つまりテンプレート:Mvarは縮閉線の垂足曲線である。よってcontrapedal curveは元の曲線の縮閉線の垂足曲線であることが従う。

テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarを中心に2倍縮小した図形をテンプレート:Mvarとする。 テンプレート:Mvarに対応する点テンプレート:Mvarは長方形テンプレート:Mvarの中心であり、テンプレート:Mvarにおけるテンプレート:Mvarの接線はテンプレート:Mvarと平行な直線で、長方形を二等分する。テンプレート:Mvarから発射され、テンプレート:Mvarで テンプレート:Mvarに衝突して反射する交線はテンプレート:Mvarを通る。この反射された交線はテンプレート:Mvarの垂足曲線と直交する直線であるテンプレート:Mvarと一致する。垂足曲線に直交する直線の包絡線は、反射された交線の包絡線、テンプレート:Mvarのテンプレート:仮リンクとなる。 これは、曲線の火線はorthotomicの縮閉線と一致することの証明に使われる。

前述の様に、テンプレート:Mvarを直径とする円が垂足曲線に接する。この円の中心テンプレート:Mvarはである。

テンプレート:Mvarをテンプレート:Mvarの共通接線で鏡映の関係にある合同な曲線として、テンプレート:仮リンクの定義の様に、テンプレート:Mvar上を滑らせずに転がす。ニ曲線が点テンプレート:Mvarで接するとすれば、 テンプレート:Mvarと対応する点はテンプレート:Mvarとなる。また輪転曲線は垂足曲線となる。同様に、曲線のorthotomicは輪転曲線の鏡映像の輪転曲線となる。

例

蝸牛形 - 円の垂足曲線

テンプレート:Mvarが円であるとき、上記の議論から蝸牛形は以下の様な定義ができる。

• 円の垂足曲線。
• ある固定点と円上の点を直径の両端とする円の包絡線。
• 中心が円上にあり固定点を通る円の包絡線。
• 同半径の円上を転がる円の輪転曲線。

円の火線は蝸牛形の縮閉線である。

例

有名な曲線の垂足曲線を挙げる。テンプレート:Clear

曲線	方程式	垂足点	垂足曲線
円		円周上の点	カージオイド
円		任意の点	蝸牛形（リマソン）
放物線		焦点	頂点における接線
放物線		頂点	ディオクレスのシッソイド
デルトイド		中心	Trifolium
楕円または双曲線		焦点	副円
楕円または双曲線	$\frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}=1$	中心	$a^2{\cos }^2\theta \pm b^2{\sin }^2\theta =r^2$ テンプレート:Enlink
直角双曲線		中心	ベルヌーイのレムニスケート
対数螺旋		極	対数螺旋
正弦波螺旋	$r^n=a^n\cos n\theta$	極	$r^{\frac{n}{n+1}}=a^{\frac{n}{n+1}}\cos \frac{n}{n+1}\theta$ (別の正弦波螺旋)

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 垂足三角形

出典

• テンプレート:Cite book

• テンプレート:Cite book

参考文献

• Differential and integral calculus: with applications by George Greenhill (1891) p326 ff. (Internet Archive)
• テンプレート:Cite book
• "Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
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