ノルム線型空間

テンプレート:出典の明記 数学におけるノルム線型空間（ノルムせんけいくうかん、テンプレート:Lang-en-short; ノルム付きベクトル空間、ノルム付き線型空間）または短くノルム空間は、ノルムの定義されたベクトル空間を言う。

各成分が実数の、二次元あるいは三次元のベクトルからなる空間では、直観的にベクトルの「大きさ」（長さ）の概念が定義できる。この直観的アイデアを任意有限次元の実数ベクトル空間 テンプレート:Math に拡張するのは容易い。ベクトル空間におけるそのようなベクトルの大きさは以下のような性質を持つ:

• 零ベクトル テンプレート:Math は大きさ零、そのほかのベクトルは正の大きさを持つ。
• ベクトルを正数倍すると、向きはそのままに大きさだけが変化する。
• 三角不等式を満足する。つまり、ベクトルの大きさを距離と見て、点 テンプレート:Math から点 テンプレート:Math を経由しての点 テンプレート:Math まで行くときの距離は直接 テンプレート:Math から テンプレート:Math まで行く距離よりも短くなることはない（任意の二点間の最短距離は直線距離である）。

これらの三性質をより抽象的なベクトル空間へ一般化することでノルムの概念は与えられる。ノルム空間（および半ノルム空間）は線型代数学および函数解析学の研究の中核である。

定義

テンプレート:Seealso ノルム体 テンプレート:Mvar 上のノルム線型空間とは、テンプレート:Mvar-線型空間 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar 上のノルム テンプレート:Math の組 テンプレート:Math を言う。ノルムは以下の性質

1. 半正値性: $\Vert x\Vert \ge 0(\mathrm{\forall }x\in V),\Vert x\Vert =0⟺x=0$
2. 斉次性: $\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert (\mathrm{\forall }x\in V,\alpha \in K)$
3. 劣加法性（三角不等式）: $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert (\mathrm{\forall }x,y\in V)$

を満たす実数値函数 テンプレート:Math であった。またこの三条件を、最初の条件のうち テンプレート:Math を除いてすべて満足するものは半ノルムと呼ばれ、テンプレート:Mvar と半ノルム テンプレート:Mvar との組 テンプレート:Math は同様に半ノルム空間と呼ばれる（半ノルム空間についての詳細は半ノルムおよび局所凸空間も参照のこと）。

文脈上、どの（半）ノルムを考えているか明らかで紛れのおそれの無い場合には、テンプレート:Math や テンプレート:Mvar を落として、単に（半）ノルム空間 テンプレート:Mvar のように書く。

三角不等式に関して、以下のような変形版

逆向きの三角不等式: $\Vert x-y\Vert \ge |\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |$

も有用である。これはベクトルのノルムが連続写像であることも示している。

注意すべきは、条件 2. は係数体上の「ノルム」の取り方に依存することである。係数体が実数体 テンプレート:Mathbf（やより一般に複素数体 テンプレート:Mathbf の部分体）であるときには、普通は通常の絶対値をとるが、ほかの選択も可能である。例えば テンプレート:Mathbf-線型空間上で テンプレート:Math を [[P進付値|テンプレート:Mvar-進ノルム]]とすることができ、異なるノルム空間のクラス（テンプレート:Mvar-進ノルム空間）が生じる。

位相構造

テンプレート:Main テンプレート:Math がノルム空間ならば、ノルム テンプレート:Math は距離函数（および距離の概念）を誘導し、テンプレート:Mvar 上の位相を定義する。この距離函数は自然な仕方で定義される（すなわち、二つのベクトル テンプレート:Mvar の絶対差 テンプレート:Math で与えられる）。この位相は、ちょうど テンプレート:Math を連続にする最弱の位相であり、以下の性質

1. テンプレート:Ill2 テンプレート:Math はこの位相に関して二変数の連続写像である（これは三角不等式から直接に従う）。
2. テンプレート:Ill2 テンプレート:Math はこの位相に関して二変数の連続写像である（これは三角不等式とノルムの斉次性から従う）。ここに テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の係数体とする。

が成り立つという意味で テンプレート:Mvar の線型構造とも両立する。

同様に、半ノルム空間においても テンプレート:Math とおけば擬距離空間の構造が入り、連続性や極限などの概念を定義することができるようになる。もう少し抽象的に言えば、任意の半ノルム空間は位相線型空間であり、半ノルムの誘導する位相構造が入る。

特別な興味がもたれるのは完備なノルム空間で、バナッハ空間と呼ばれる。任意のノルム線型空間 テンプレート:Mvar は適当なバナッハ空間に稠密部分空間として含まれる。そのようなバナッハ空間は テンプレート:Mvar に対して本質的に一意に定まり、テンプレート:Mvar のテンプレート:Ill2と呼ばれる。

有限次元線型空間の全てのノルムは、それが同じ位相を誘導するという位相的な観点から同値である（ただし、得られる距離空間は同じとは限らない）。また、任意のユークリッド空間は完備であるから、任意の有限次元ノルム空間がバナッハであることが帰結できる。ノルム空間 テンプレート:Mvar が局所コンパクトとなるための必要十分条件は、単位球体 テンプレート:Math がコンパクトとなることであり、それはまた テンプレート:Mvar が有限次元であることと同値である（これはリースの補題の帰結である）。実はより一般の結果として「位相線型空間が局所コンパクトとなるための必要十分条件は、それが有限次元となることである」が成り立つ。

半ノルム空間の位相は多くの良い性質を満足する。零ベクトル テンプレート:Math の近傍系 テンプレート:Math は、各点 テンプレート:Mvar の近傍系を

$𝒩(x)=x+𝒩(0):=\{x+N\mid N\in 𝒩(0)\}(x+N:=\{x+n\mid n\in N\})$

とおくことにより構成できる。さらに、併呑凸集合からなる テンプレート:Math のテンプレート:Ill2が存在する。この性質があることは函数解析学において有用であり、ノルム空間を一般化する概念としてこの性質を満足するような位相線型空間を局所凸空間と呼ぶ。 テンプレート:Seealso

線型写像と双対空間

テンプレート:Main ノルム空間の間の写像で最も重要なのは、連続な線型写像である。すべてのノルム空間とそれらの間のすべての連続線型写像は圏を成す。

ノルムはそのベクトル空間上の連続函数であり、また有限次元線型空間の間の任意の線型写像は連続である。

二つのノルム空間の間の等距写像 (isometry) は、線型写像 テンプレート:Mvar でノルムを保つものを言う（すなわち、テンプレート:Math）。等距写像は常に連続かつ単射である。ノルム空間 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間の全射等距写像は等距同型写像と言い、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar とは互いに等距同型であると言う。等距同型なノルム空間は実用上は同じものと考えられる。

ノルム空間について考えるとき、双対空間の概念に関する議論はそのノルムも勘案した意味で言う。すなわち、ノルム空間 テンプレート:Mvar の双対空間 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar から係数体（それは普通実数体 テンプレート:Mathbf または複素数体 テンプレート:Mathbf）への連続線型写像（この場合、線型写像のことを（線型）汎函数と言う）。汎函数 テンプレート:Mvar のノルムは、テンプレート:Mvar の全ての単位ベクトル（テンプレート:Nowrap のベクトル）テンプレート:Mvar に亙って取った テンプレート:Math の上限（上限ノルム）として定義される。これにより双対空間 テンプレート:Mvar はノルム空間となる。ノルム空間上の連続線型汎函数に関する重要な定理に、ハーン–バナッハの定理がある。

半ノルム空間の商

多くのノルム空間（特にバナッハ空間）の定義として、まずベクトル空間上に半ノルムを定義して、それから半ノルム テンプレート:Math の元の成す部分空間による商空間としてノルム空間を作るという方法が見られる。例えば、[[ルベーグ空間|テンプレート:Mvar-空間]]は

$\Vert f{\Vert }_p=(\int |f(x){|}^{p}dx{)}^{1/p}$

で定義される函数を半ノルムとする、右辺のルベーグ積分が定義されて有限となる函数全体の成す線型空間である。ただし、ルベーグ測度に関する零集合上に台を持つ任意の函数は、テンプレート:Nowrap である。そのような函数の全体は部分空間を成すが、その部分空間で「割って」しまえば、それらの函数は全て零函数に同値とすることができる。

ノルム空間の有限直積

テンプレート:Mvar 個の半ノルム空間 テンプレート:Math が与えられたとき、ノルム空間としての直積空間は、ベクトル空間としては

$X:=\prod _{i=1}^n{X}_i=X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$

は元ごとの和

$(x_1,\dots ,x_n)+(y_1,\dots ,y_n):=(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n)$

とスカラー倍

$\alpha (x_1,\dots ,x_n):=(\alpha x_1,\dots ,\alpha x_n)$

で与えられる直積である。さらにその上に函数

$q:X\to ℝ$

を例えば

$q:(x_1,\dots ,x_n)\mapsto \sum _{i=1}^n{q}_i(x_i)$.

と定めれば、この テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上の半ノルムとなる。これがノルムとなるための必要十分条件は、任意の テンプレート:Mvar がノルムとなることである。

より一般に、任意の実数 テンプレート:Math に対して半ノルム

$q:(x_1,\dots ,x_n)\to (\sum _{i=1}^n{q}_i(x_i{)}^p{)}^{1/p}$

を得ることができる。どの テンプレート:Mvar についてもこの半ノルムから得られる位相空間は同じである。

初等的な線型代数学の直接的な議論により、自明な半ノルムを備えたノルム空間の直積空間として生じるノルム空間は有限次元半ノルム空間に限ることが示せる。その帰結として、半ノルム空間のより興味深い例や応用の多くは無限次元線型空間に対して起きる。

関連項目

• 局所凸位相線型空間: 半ノルム線型空間の一般化
• バナッハ空間: ノルム距離に関する完備ノルム線型空間
• 内積空間: 内積の誘導するノルムを持つノルム線型空間
• フィンスラー多様体
• 空間 (数学)

参考文献

• テンプレート:Citation

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Nlab
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