弦 (数学)

赤い線分 BX はこの円の弦である。（線分 AB は円の直径）

初等幾何学における円の弦（げん、テンプレート:Lang-en-shortテンプレート:Efn）は、その円周上に両端点を持つ線分を言う。弦を無限に延長して得られる直線を、割線と呼ぶ。より一般に、任意の曲線（例えば楕円）において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の直径である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけではない。

テンプレート:リスト

円の弦

テンプレート:Seealso 円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある:

1. 二つの弦が、円の中心から等距離にあるための必要十分条件は、それら弦の長さが等しいことである。
2. 長さの等しい弦を、円の中心から見込む角（中心角）は等しい。
3. 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の最長の弦である。
4. 弦 テンプレート:Math および テンプレート:Math を延長して得られる割線が点 テンプレート:Math で交わるならば、それらの長さは テンプレート:Math を満足する（方冪の定理）。

楕円の弦

楕円における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて同一直線上にある。

弦をもとにした三角法テンプレート:Anchors

三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂したテンプレート:Ill2で、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している（0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった）。

中心角 テンプレート:Mvar に対する弦; 弦の半分が正弦

弦函数 テンプレート:Math は幾何学的には（図のように）中心角 テンプレート:Mvar の見込む弦の長さが テンプレート:Math（テンプレート:Mvar は半径）となるように定義される。すなわち、弦函数の値 テンプレート:Math は、中心角 テンプレート:Mvar によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 テンプレート:Mvar は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 テンプレート:Math の範囲に入るものと考えている。この元函数 テンプレート:Math をより現代的な正弦函数 テンプレート:Math と関連付けることができる。それには、一点 テンプレート:Math ともう一つの点 テンプレート:Math を結ぶ弦の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい。すると $$\mathrm{crd}\theta =\sqrt{(1-\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta }=\sqrt{2-2\cos \theta }=2\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$$ を得る。最後の等号は半角公式による。

現代的な三角法が正弦函数に基づいて構築されているのと同様に、古来の三角法はこの弦函数をもとに構築されていた。ヒッパルコスは（いまではもうすべて失われたけれども）12巻にも及ぶ弦についての文献を書き上げたというから、三角法についてはかなりのことが知られていたと考えられる。現代的な三角函数に関するよく知られた恒等式の弦函数版がある:

恒等式	正弦版	弦版
三平方の定理	${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$	${\mathrm{crd}}^2\theta +{\mathrm{crd}}^2(\pi -\theta )=4$
半角公式	$\sin \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$	$\mathrm{crd}\frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{2-\mathrm{crd}(\pi -\theta )}$
辺心距離 テンプレート:Mvar	$c=2\sqrt{r^2-a^2}$	$c=\sqrt{D^2-4a^2}$
中心角 テンプレート:Mvar	$c=2r\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$	$c=\frac{D}{2}\mathrm{crd}\theta$
ただし、半径 テンプレート:Mvar（直径 テンプレート:Mvar）の円の中心角 テンプレート:Mvar が見込む弦の長さを テンプレート:Mvar とする。

弦函数 テンプレート:Math の逆函数 テンプレート:Math もまた存在して、逆正弦函数とは $$\mathrm{acrd}(y)=2\arcsin \left(\frac{y}{2}\right)$$ の関係にある。

関連文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal

関連項目

• 弓形: 端点が同じ弦と円弧で囲まれた部分(=扇形から半径と弦が作る三角形を取り除いて残る部分)
• テンプレート:Ill2: 弦に打った目盛りで角度を測る尺
• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2: 凸閉曲線内を回転する弦に関する
• テンプレート:Ill2: 一つの円内の弦の集合に対するテンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2: 外正割（剰正割; exsecant）と外余割（剰余割; excosecant）
• テンプレート:Ill2: 正矢（余正弦、残正弦; versine) と半正矢 (haversine) およびそれらの逆函数. 関連して、余矢 (coversine), 残正矢 (vercosine), 残余矢 (covercosine) / 半余矢 (hacoversine), 半残正矢 (havercosine), 半残余矢 (hacovercosine) など.
• テンプレート:Ill2: 任意の弦が、同じ長さを持ち、かつ周長を二等分する単純閉曲線

外部リンク

• History of Trigonometry Outline
• Trigonometric functions, focusing on history
• Chord (of a circle) With interactive animation
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:ProofWiki
• テンプレート:SpringerEOM