デデキントのイータ関数

デデキントのイータ関数 (デデキントのイータかんすう、テンプレート:Lang-en-short) は次のような式で定義される関数である。

$\eta (\tau )=e^{\pi i\tau /12}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi i\tau m})(\mathrm{\Im }\tau >0)$

ヤコビの三重積の公式により、

$\eta (\tau )=e^{\pi i\tau /12}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\left(e^{2\pi i\tau }\right)}^{n(3n-1)/2}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\left(e^{2\pi i\tau }\right)}^{(6n-1{)}^2/24}(\mathrm{\Im }\tau >0)$

となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

極と零点

$\mathrm{\Im }\tau >0$であれば$\left|e^{2\pi i\tau }\right|<1$であるから、

$\begin{array}{cc}|\log \eta (\tau )|& =\frac{\left|\pi i\tau \right|}{12}+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}|\log (1-e^{2\pi i\tau m})|\\ & =\frac{\left|\pi i\tau \right|}{12}+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\left|e^{2\pi i\tau mn}\right|}{n}\\ & =\frac{\left|\pi i\tau \right|}{12}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\left|e^{2\pi i\tau n}\right|}{n(1-\left|e^{2\pi i\tau n}\right|)}\\ & \le \frac{\left|\pi i\tau \right|}{12}+\frac{1}{1-|e^{2\pi i\tau }|}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|e^{2\pi i\tau n}|}{n}\\ & \le \frac{\left|\pi i\tau \right|}{12}-\frac{\log (1-|e^{2\pi i\tau }|)}{1-|e^{2\pi i\tau }|}\\ \end{array}$

である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、$\tau =q/r$が有理数であれば$1-e^{2\pi i\tau r}=0$であるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

テータ関数との関係

イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて

$\begin{array}{cc}{\eta }^3\left(\tau \right)& =e^{\pi i\tau /4}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-e^{2\pi i\tau m})}^3\\ & =e^{\pi i\tau /4}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-e^{2\pi i\tau m})}^3{(1+e^{2\pi i\tau m})}^2{(1-e^{2\pi i\tau (2m-1)})}^2\\ & =e^{\pi i\tau /4}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-e^{2\pi i\tau m})}^3{(1+e^{2\pi i\tau m})}^2{(1+e^{(2m-1)\pi i\tau })}^2{(1-e^{(2m-1)\pi i\tau })}^2\\ & =\frac{1}{2}{\vartheta }_2(0,\tau ){\vartheta }_3(0,\tau ){\vartheta }_4(0,\tau )\\ \end{array}$

である。また、

$\begin{array}{cc}\eta (\tau )& =e^{\pi i\tau /12}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi i\tau m})\\ & =e^{\pi i\tau /12}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi i\tau m/3})(1+e^{2\pi i\tau m/3}+e^{4\pi i\tau m/3})\\ & =\frac{2}{\sqrt{3}}{e}^{\pi i\tau /12}\cos \frac{\pi }{6}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi i\tau m/3})(1+2\cos \frac{\pi }{3}{e}^{2\pi i\tau m/3}+e^{4\pi i\tau m/3})\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}{\vartheta }_2(\frac{1}{6},\frac{\tau }{3})\\ \end{array}$

である。

モジュラー変換

テータ関数の虚数変換式により

$\begin{array}{cc}{\eta }^3(-\frac{1}{\tau })& =\frac{1}{2}{\vartheta }_2(0,-\frac{1}{\tau }){\vartheta }_3(0,-\frac{1}{\tau }){\vartheta }_4(0,-\frac{1}{\tau })\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{-i\tau }{\vartheta }_4(0,\tau )\sqrt{-i\tau }{\vartheta }_3(0,\tau )\sqrt{-i\tau }{\vartheta }_2(0,\tau )\\ & =\sqrt{i{\tau }^3}{\eta }^3(\tau )\\ \end{array}$

であるが、$\tau$が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、

$\begin{array}{cc}\eta (-\frac{1}{\tau })& =\sqrt{-i\tau }\eta (\tau )\\ \end{array}$

である。また、

$\begin{array}{cc}\eta (\tau +1)& =e^{\pi i(\tau +1)/12}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi i(\tau +1)m})\\ & =e^{\pi i/12}{e}^{\pi i\tau /12}\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}(1-e^{2\pi i\tau m})\\ & =e^{\pi i/12}\eta \left(\tau \right)\\ \end{array}$

であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。

$\begin{array}{cc}& {\eta }^{24}(-\frac{1}{\tau })={\tau }^{12}{\eta }^{24}(\tau )\\ & {\eta }^{24}(\tau +1)={\eta }^{24}\left(\tau \right)\end{array}$

実際、モジュラー判別式$\mathrm{\Delta }$の定数倍と一致する。

$(2\pi {)}^{12}{\eta }^{24}(\tau )=\mathrm{\Delta }(\tau ).$

関数等式

イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c ≠ 0 のとき、ある1の24乗根 $ϵ(a,b,c,d)$ について関数等式

$\eta \left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=ϵ(a,b,c,d)(c\tau +d{)}^{1/2}\eta (\tau )$

が成り立つ。$ϵ(a,b,c,d)$は

$ϵ(a,b,c,d)=\exp \pi i(\frac{a+d}{12c}-s(-d,c)-\frac{1}{4})$

により求められる。ここで$s(h,k)$はテンプレート:仮リンク

$s(h,k)=\sum _{r=1}^{k-1}\frac{r}{k}(\frac{hr}{k}-\lfloor \frac{hr}{k}\rfloor -\frac{1}{2})$

をあらわす。

参考文献

• テンプレート:Cite book