円分体

円分体 (えんぶんたい、テンプレート:Lang-en-short) は、有理数体に、1 の $m(>2)$ 乗根 $\zeta (\ne \pm 1)$ を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、${\zeta }_n=e^{2\pi i/n}$ とする。

性質

• 3 以上の整数 m に対して、円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ の拡大次数 $[\mathbb{Q}({\zeta }_m):\mathbb{Q}]$ は、$\phi (m)$ である。但し、$\phi (n)$ はオイラー関数である。
• 任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
• 3 以上の整数 m に対して、$m=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ ($p_1,\dots ,p_r$ は、相異なる素数、$e_1,\dots ,e_r\geqq 1)$ と素因数分解すると、

$\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ は、$\mathbb{Q}({\zeta }_{p_1^{e_1}}),\dots ,\mathbb{Q}({\zeta }_{p_r^{e_r}})$ の合成体であり、

$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_m)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/p_1^{e_1}\mathbb{Z}{)}^{\times }\times \cdots \times (\mathbb{Z}/p_r^{e_r}\mathbb{Z}{)}^{\times }$

が成立する。また、円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ で分岐する有理素数テンプレート:Efnは、$p_1,\dots ,p_r$ に限る。

• $\mathbb{Q}({\zeta }_m)\cap ℝ=\mathbb{Q}({\zeta }_m+1/{\zeta }_m)$ である。この$\mathbb{Q}({\zeta }_m+1/{\zeta }_m)$ を、最大実部分体または実円分体という。
• 一意分解整域となる円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ $(m\equiv ̸2(\mathrm{mod}4)$)テンプレート:Efnは、m が 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 の場合だけである。
  • 特に、23 以上の素数 p に対しては、円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_p)$ は一意分解整域でない。
• 類数が 2 である円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ $(m\equiv ̸2(\mathrm{mod}4)$) は、m = 39, 56 だけである。
• 円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ に含まれる代数的整数の集合は、$\mathbb{Z}[{\zeta }_m]$ である。

円分体の判別式

m を 3 以上の整数として、円分体を $K=\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ とする。

(1) m が素数のとき

K の判別式は、$(-1{)}^{(m-1)/2}{m}^{m-2}$ である。

(2) $m=p^h$ (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき

K の判別式は、$\epsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)}$ である。但し、

$\epsilon =\{\begin{array}{cc}-1& (p=h=2,\text{ or }p\equiv 3(\mathrm{mod}4)),\\ +1& (p=2,h\geqq 3,\text{ or }p\equiv 1(\mathrm{mod}4)).\end{array}$

(3) $m=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ ($r\geqq 2,p_1,\dots ,p_r$ は相異なる素数、$e_1,\dots ,e_r\geqq 1)$ であるときには

円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_{p_i^{e_i}})$ の判別式を $D_i$ とすると、 K の判別式は、

$\prod _{i=1}^r{D}_i^{\phi (m)/\phi (p_i^{e_i})}$

である。

アーベル拡大体の埋め込み

テンプレート:Main クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)

K が有理数体上のアーベル拡大体のとき、ある整数 $m\geqq 3$ が存在して、

$K\subset \mathbb{Q}({\zeta }_m)$ となる。

例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

円分体と初等整数論

フェルマーの最終定理

素数 p に対して、

$x^p+y^p=z^p$

の左辺を、$\mathbb{Q}({\zeta }_p)$ 上で分解すると、

$(x+y)(x+{\zeta }_{p}y)\cdots (x+{\zeta }_p^{p-1}y)=z^p$

となる。 ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記左辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、左辺の分解が一意的であることが前提になっており、$p=23$ のとき、それが成立しないことを示した。 そのため、$p=23$ (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。

クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。

クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。

• 素数 p は、円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_p)$ の類数を割り切らない。

正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。

クンマーの補題

素数 p が正則素数であれば、円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_p)$ の単数 ε を、$\epsilon \equiv a(\mathrm{mod}(1-{\zeta }_p{)}^p)$ となる有理整数 a が存在するようにとると、 $\mathbb{Q}({\zeta }_p)$ の単数 ${\epsilon }_0$ が存在して、$\epsilon ={\epsilon }_0^p$ と表される。

正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。

平方剰余の相互法則

ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示したテンプレート:Efn。さらに、$\mathbb{Q}({\zeta }_3),\mathbb{Q}({\zeta }_4)$ 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。 高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

円分体の類数

円分体の類数の性質

以下において、p を奇素数とする。

円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ の類数を $h(m)$、最大実部分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_m+1/{\zeta }_m)$ の類数を $h_2(m)$ とすると、 $h(m)=h_1(m)h_2(m)$ ($h_1(m)$ は有理整数)と表すことができる。 このとき、$h_1(m)$ を第1因子または相対類数、$h_2(m)$ を第2因子または実類数という。

第1因子については、以下の様な性質がある。

• 素数 p に対して、p が $h(p)$ を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。

つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。

この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。

• 素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、$p^2$ が、${\sum }_{j=1}^{p-1}{j}^{2k}$ を割り切る様な整数 k $(1\leqq k\leqq (p-3)/2)$ が存在することである。
• $h_1(p)$ が奇数であるならば、$h_2(p)$ は奇数である。

クンマーは、第1因子の増大度に対して、$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{h}_1(p)/\gamma (p)=1$ と予想した。 但し、$\gamma (p)=p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}{\pi }^{(p-1)/2})$ 。テンプレート:Efn

この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (h_1(p)/\gamma (p))}{\log p}=0$ 。

第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。

• q を素数とし、$n>1$ とする。$p=(2qm{)}^2+1$ が素数であるならば、$h_2(p)>2$ である。

ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p は $h_2(p)$ を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明であるテンプレート:Sfn。

円分体の類数公式

円分体の類数を求めるには、$h(m)=h_1(m)h_2(m)$ より、第1因子と第2因子を求めればよい。テンプレート:Efn

• 第1因子
  • $h_1(m)=\frac{\delta }{(2m{)}^{\frac{1}{2}\phi (m)-1}}\prod _{\chi \in S}\sum _{n=1}^{m-1}\chi (n)n$ 。

ここで、

$\delta =\{\begin{array}{cc}1& (m\equiv ̸0(\mathrm{mod}4)),\\ \frac{1}{2}& (m\equiv 0(\mathrm{mod}4)),\end{array}$

S は、$\chi (-1)=-1$ を満たす、法 m に関する指標の集合とする。

特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。

• $h_1(p)=\frac{1}{(2p{)}^{(p-3)/2}}|\prod _{\chi \in S}\sum _{k=1}^{p-1}\chi (k)k|$ 。

m が素数のとき、以下の様な式がある。

• $h_1(p)=\frac{1}{(2p{)}^{(p-3)/2}}|G(\eta )G({\eta }^2)\cdots G({\eta }^{p-2})|$

ここで、η は、1 の原始 $p-1$ 乗根とし、$G(X)={\sum }_{j=0}^{p-2}{g}_j{X}^j$ 。

但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、$j=0,1,\dots ,p-2$ に対して、$1\leqq g_j\leqq p-1$ は、$g^j\equiv g_j(\mathrm{mod}p)$ を満たす正整数とする。

• p の倍数ではない整数 r に対して、$1\leqq R(r)\leqq p-1$ を、$r\equiv R(r)(\mathrm{mod}p)$ を満たすようにとる。

また、$1\leqq r^{\prime }\leqq p-1$ を、$r{r}^{\prime }\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ を満たすようにとる。

$M_p=(R(r{s}^{\prime }){)}_{r,s=1,2,\dots ,(p-1)/2}$ テンプレート:Efnとおくと、

$h_1(p)=\frac{1}{p^{(p-3)/2}}|\det M_p|$ である。

• 第2因子
  • $h_2(m)=\frac{2^{\frac{1}{2}\phi (m)-1}}{R}\prod _{\chi \in T}\sum _{n=1}^{[\frac{m-1}{2}]}\chi (n)\log |1-{\zeta }_m^n|$ 。

ここで、R は、$\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ の単数基準、T は、$\chi (-1)=1$ を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。

特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。

• $h_2(p)=\frac{2^{(p-3)/2}}{R}\prod _{k=1}^{(p-3)/2}|\sum _{j=0}^{(p-3)/2}{\eta }^{2k^j}\log |1-{\zeta }_p^{g^j}||$ 。

ここで、η は、1 の原始 $p-1$ 乗根、g は、法 p に対する原始根とする。

m が素数のとき、以下の様な式がある。

• $k=2,3,\dots ,(p-1)/2$ に対して、${\delta }_k=\sqrt{\frac{(1-{\zeta }_p^k)(1-{\zeta }_p^{-k})}{(1-\zeta )(1-{\zeta }^{-1})}}$ テンプレート:Efn とおく。

g を法 p に関する原始根とし、$\delta ={\delta }_g$ とおく。

また、σ を、$\sigma ({\zeta }_p)={\zeta }_p^g$ を満たす、$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q})$ の生成元とする。

$M=(\log {\sigma }^{i+j}(\delta ){)}_{i,j=0,1,\dots ,(p-5)/2}$

とおくと、

$h_2(p)=\frac{2^{(p-3)/2}}{R}|\det M|$ 。

但し、R は、$\mathbb{Q}({\zeta }_p)$の単数基準とする。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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関連項目

• 1の冪根
• 円分多項式
• ガロア理論
• 代数体

外部リンク

• テンプレート:Kotobank
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• テンプレート:MathWorld