関数の極限

テンプレート:出典の明記 テンプレート:Calculus 関数の極限（かんすうのきょくげん）とは、ある関数に対して、その変数をある値に限りなく近づける操作、および極限操作によって定まる関数の値である。 テンプレート:See also 極限操作は、記号 テンプレート:Math を用いて表される。例えば関数 テンプレート:Mvar に対して変数 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar へ近づける極限は以下のように表される：

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)$$

変数の収束に伴う関数の挙動

f(c) ≠ L となる例

テンプレート:Math を実関数とし、テンプレート:Mvar を実数とする。式

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

または

$f(x)\to L(x\to c)$

は テンプレート:Mvar の値を テンプレート:Mvar に“十分に近づければ”テンプレート:Math の値を テンプレート:Mvar に望む限りいくらでも近づけることができることを意味する。このとき「テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar に近づけたときの テンプレート:Math の極限は テンプレート:Mvar である」という。これはイプシロン-デルタ論法により

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}\delta >0;{}^{\mathrm{\forall }}x[0<|x-c|<\delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon ]$

という形で厳密に定義されるテンプレート:Refnest。このとき極限 テンプレート:Mvar は存在するならば、その値は関数 テンプレート:Math と点 テンプレート:Mvar から一意に定まるテンプレート:Sfn。一方この極限と関数 テンプレート:Math の テンプレート:Math2 における値は無関係であり、テンプレート:Math2 であることもある（右図）。

このことを理解するために次の例を挙げる。

テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に近づくときの $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ の値を考える。この場合、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar が テンプレート:Math のときに定義されており、値は テンプレート:Math である。

• $f(1.9)=0.4121$
• $f(1.99)=0.4012$
• $f(1.999)=0.4001$

テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に近づくにつれて テンプレート:Math が テンプレート:Math に近づいていく。したがって、 $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=0.4$ である。このように $f(c)=\underset{x\to c}{\lim }f(x)$ であるとき、テンプレート:Math は テンプレート:Math2 で連続であるという。しかし、このようなことが常に成り立つとは限らない。

例として、

$g(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x}{x^2+1},& \text{if }x\ne 2\\ 0,& \text{if }x=2\end{array}$

を考える。テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に近づくときの テンプレート:Math の極限は テンプレート:Math であるが、$\underset{x\to 2}{\lim }g(x)\ne g(2)$ である。故に テンプレート:Math は テンプレート:Math2 で連続でない。

また、テンプレート:Math2 のとき、テンプレート:Math の値が限りなく大きくなることを、「x が c に限りなく近づくとき関数 テンプレート:Math は正の無限大に発散する」といい、

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$

または

$f(x)\to \mathrm{\infty }(x\to c)$

と表す。このことは次のように厳密に定義される。

${}^{\mathrm{\forall }}K>0,{}^{\mathrm{\exists }}\delta >0;{}^{\mathrm{\forall }}x[0<|x-c|<\delta ⟹f(x)>K]$

逆に、テンプレート:Math2 のとき、テンプレート:Math の値が限りなく小さくなることを、「テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に限りなく近づくとき関数 テンプレート:Math は負の無限大に発散する」といい、

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$

または

$f(x)\to -\mathrm{\infty }(x\to c)$

と表す。これは次のように厳密に定義される。

${}^{\mathrm{\forall }}K<0,{}^{\mathrm{\exists }}\delta >0;{}^{\mathrm{\forall }}x[0<|x-c|<\delta ⟹f(x)<K]$

連続な実関数 テンプレート:Math が テンプレート:Math2 とする極限において発散するならば、テンプレート:Math は テンプレート:Math2 において定義できない。なぜなら、定義されていたとすると テンプレート:Math2 は不連続点となるからである。

無限遠点における挙動

テンプレート:Mvar がある有限の値に近づくときだけでなく、テンプレート:Mvar が正か負の無限に近づくときの関数の極限を定義することもできる。

ある無限区間 テンプレート:Math で定義される関数 テンプレート:Math において、テンプレート:Mvar が限りなく大きくなると関数 テンプレート:Math の値がある値 テンプレート:Mvar に近づくとき、「テンプレート:Mvar が限りなく大きくなるとき テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に収束する」といい、

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L$

または

$f(x)\to L(x\to \mathrm{\infty })$

と表す。

これは次のように定義される。

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}X>0;{}^{\mathrm{\forall }}x[x>X⟹|f(x)-L|<\epsilon ]$

例えば、$f(x)=\frac{2x}{x+1}$ を考える。

• $f(100)=1.9802$
• $f(1000)=1.9980$
• $f(10000)=1.9998$

テンプレート:Mvar が十分大きくなるにつれて、テンプレート:Math は テンプレート:Math に近づく。このとき、$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=2$ と表す。

また、ある無限区間 テンプレート:Math で定義される関数 テンプレート:Math において、テンプレート:Mvar が限りなく小さくなると関数 テンプレート:Math の値がある値 テンプレート:Mvar に近づくとき、「テンプレート:Mvar が限りなく小さくなるとき テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に収束する」といい、

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L$

または

$f(x)\to L(x\to -\mathrm{\infty })$

と表す。

これは次のように定義される。

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}X<0;{}^{\mathrm{\forall }}x[x<X⟹|f(x)-L|<\epsilon ]$

関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。

ある無限区間 テンプレート:Math で定義される関数 テンプレート:Math において、テンプレート:Mvar が限りなく大きくなると関数 テンプレート:Math の値も限りなく大きくなるとき、「テンプレート:Mvar が限りなく大きくなるとき テンプレート:Math は正の無限大に発散する」といい、

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$

または

$f(x)\to \mathrm{\infty }(x\to \mathrm{\infty })$

と表す。

これは次のように定義される。

${}^{\mathrm{\forall }}K>0,{}^{\mathrm{\exists }}X>0;{}^{\mathrm{\forall }}x[x>X⟹f(x)>K]$

また、ある無限区間 テンプレート:Math で定義される関数 テンプレート:Math において、テンプレート:Mvar が限りなく小さくなると関数 テンプレート:Math の値が限りなく大きくなるとき、「テンプレート:Mvar が限りなく小さくなるとき テンプレート:Math は正の無限大に発散する」といい、

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$

または

$f(x)\to \mathrm{\infty }(x\to -\mathrm{\infty })$

と表す。

これは次のように定義される。

${}^{\mathrm{\forall }}K>0,{}^{\mathrm{\exists }}X<0;{}^{\mathrm{\forall }}x[x<X⟹f(x)>K]$

同様に、テンプレート:Math2 や テンプレート:Math2 における負の無限大への発散を定義することができる。

テンプレート:Math2 や テンプレート:Math2 において、関数 テンプレート:Math が収束もせず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その関数は数列と同様に振動するという。

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 片側極限
• 極限の一覧