オイラーのφ関数

φ (n) = \sum_{\binom{1 \leq m \leq n}{(m, n) = 1}} 1

と表すこともできる（ここでテンプレート:Math2 はテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar の最大公約数を表す）。慣例的にギリシャ文字のテンプレート:Math（あるいは $ϕ$ ）で表記されるため、オイラーの テンプレート:Mvar 関数（ファイかんすう、テンプレート:Lang）とも呼ばれる。また、簡略的にオイラーの関数と呼ぶこともある。

1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。

例

テンプレート:Math からテンプレート:Math までの値は以下の通りである^[2]。

1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…

テンプレート:Mvar を素数とすると、テンプレート:Math からテンプレート:Math2 のうちにテンプレート:Mvar の素因子であるテンプレート:Mvar を因子として含むものは存在しないから、テンプレート:Math2 が成り立つ。さらに、テンプレート:Mvar を自然数としたとき、テンプレート:Math からテンプレート:Mvar の中でテンプレート:Mvar を因子として含むもの、すなわちテンプレート:Mvar の倍数はテンプレート:Math2 個あるから、次が成立することが確かめられる。テンプレート:Math theorem また、テンプレート:Math2 を互いに素な自然数とすると、テンプレート:Math2 が成り立つ。これをオイラーの関数は（互いに素な数の積に関して）乗法的であると言う^[1]。これらのことからさらに、任意の自然数テンプレート:Mvar における値を知ることができる。実際に、テンプレート:Mvar はどの二つも相異なる素因数であるとして、以下のようにテンプレート:Math2 を計算することができる。テンプレート:Math theorem

\sum_{d ∣ n} φ (d) = n

自然数テンプレート:Math2 とするとき、剰余環テンプレート:Math2 に属する剰余類テンプレート:Math2 が既約、つまりテンプレート:Math2 の単数である必要十分な条件は代表元テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar と互いに素であることであるから、既約剰余類の数はテンプレート:Math に等しい。同じことだが、群テンプレート:Mvar の位数をテンプレート:Math, 環テンプレート:Mvar の単数群をテンプレート:Math で表すとき、等式

φ (m) = # (ℤ / m ℤ)^{\times}

が成立する。これは特に、オイラーの定理 $a^{φ (m)} \equiv 1 (\mod m)$ の成立を意味する。また同じ式から、[[1の冪根|テンプレート:Math のテンプレート:Mvar 乗根]]で原始的であるものの一つをテンプレート:Mvar とし、既約剰余類群テンプレート:Math を円分拡大テンプレート:Math2 のガロア群と見ればテンプレート:Math2 が円のテンプレート:Mvar 分多項式の次数に等しいことも従う。

φ (n) \geq e^{- γ} \frac{n}{\log \log n + \frac{2.50637}{e^{γ} \log \log n}}

が成り立つ。ここでテンプレート:Mvar はオイラー定数である。もしテンプレート:Math2 であればテンプレート:Math のかわりにテンプレート:Math とおくことができる。一般に任意のテンプレート:Math2 に対して

φ (n) > n^{1 - ε}

が十分大きなテンプレート:Mvar に対して成り立つ^[3]。簡明な下界として $φ (n) \geq \sqrt{\frac{n}{2}}$ がある^[4]。

\frac{6 n^{2}}{π^{2}} < φ (n) σ (n) < n^{2}

が成り立つ。

トーシェント関数の値域に含まれない自然数をノントーシェントという。

テンプレート:Mvar がテンプレート:Math より大きい奇数の時、テンプレート:Mvar はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在することが知られている。テンプレート:Math となるテンプレート:Mvar が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意のテンプレート:Math2 に対して、テンプレート:Math2 となるテンプレート:Mvar の個数がちょうどテンプレート:Mvar 個であるようなテンプレート:Mvar は無数に存在することが知られている。