リーマン曲率テンソル

リーマン幾何学においてリーマン曲率テンソル（リーマンきょくりつテンソル、テンプレート:Lang-en-short）あるいはリーマン-クリストッフェルのテンソル（テンプレート:Lang-en-short）とは、リーマン多様体の曲率を表す4階のテンソルを言う。名称は、ベルンハルト・リーマンおよびエルウィン・ブルーノ・クリストッフェルに因む。

リーマン-クリストッフェルのテンソル（リーマン曲率テンソル）は重力の現代的理論である一般相対性理論における数学的な道具の中心となるものである。

定義

リーマン多様体を M とする。すなわち、M 上の各点に基本計量テンソル g_ij が与えられており、接続の記号 $Γ_{j k}^{i}$ はクリストッフェル記号 ${\binom{i}{j k}}$ であるとする。

（3階共変1階反変）リーマン曲率テンソル（Riemann curvature tensor）

共変ベクトル（1階共変テンソル）v_i の共変微分に関して次のリッチの公式^[1]

\nabla_{k} \nabla_{j} v_{i} - \nabla_{j} \nabla_{k} v_{i} = - \sum_{a} R_{k j i}^{a} v_{a}

（リッチの公式）

が成り立つが、このとき、右辺に現れる3階共変1階反変テンソルで次のように定義されるテンソル

R_{k j i}^{h} = \frac{\partial {\binom{h}{j i}}}{\partial x^{k}} - \frac{\partial {\binom{h}{k i}}}{\partial x^{j}} + \sum_{a} {\binom{h}{k a}} {\binom{a}{j i}} - \sum_{a} {\binom{h}{j a}} {\binom{a}{k i}}

をリーマン曲率テンソル（Riemann curvature tensor）またはリーマン-クリストッフェルのテンソル（Riemann-Christoffel tensor）と呼ぶ^[2]。

（4階共変）リーマン-クリストッフェルのテンソル（Rieman-Christoffel tensor）

3階共変1階反変のリーマン曲率テンソル $R_{k j i}^{h}$ に基本計量テンソルを掛け合わせて得られる4階共変テンソル $R_{k j i h}$

R_{k j i h} = \sum_{a} R_{k j i}^{a} g_{a h}

を特にリーマン-クリストッフェルのテンソルと呼ぶことがある^[3]。

リッチテンソル（Ricci tensor）

さらに、リーマン-クリストッフェルテンソル $R_{k j i h}$ に $g^{k h}$ を掛けて縮約またはリーマン曲率テンソルを単に縮約した2階共変テンソル

R_{j i} = \sum_{k h} g^{k h} R_{k j i h} = \sum_{a} R_{a j i}^{a}

をリッチテンソル（Ricci tensor）と呼ぶ。

曲率スカラー（curvature scalar）

リッチテンソル $R_{i j}$ にさらに反変基本計量テンソル g^ij をかけて縮約した0階テンソル（スカラー）

R = \sum_{i j} g^{i j} R_{i j}

を曲率スカラー（curvature scalar）と呼ぶ。

テンソルの性質

（3階共変1階反変）リーマン曲率テンソルの性質

R_{k j i}^{h} = - R_{j k i}^{h}

（定義より）

R_{k j i}^{h} + R_{i k j}^{h} + R_{j i k}^{h} = 0

（定義より）

ビアンキの第二恒等式（the second Bianchi identity）

\nabla_{l} R_{k j i}^{h} + \nabla_{j} R_{l k i}^{h} + \nabla_{k} R_{j l i}^{h} = 0

（4階共変）リーマン-クリストッフェルのテンソルの性質

R_{k j i h} = - R_{j k i h}

（定義より）

R_{k j i h} = - R_{k j h i}

（後述）

R_{k j i h} + R_{i k j h} + R_{j i k h} = 0

（定義より）

後ろ二つの添字について交代

二階共変テンソル S_ih に対するリッチの公式は

\nabla_{k} \nabla_{j} S_{i h} - \nabla_{j} \nabla_{k} S_{i h} = - \sum_{a} R_{k j i}^{a} S_{a h} - \sum_{a} R_{k j h}^{a} S_{i a}

（二階共変テンソルに対するリッチの公式）

であるが、S_ih = g_ih のとき、リッチの補定理 $\nabla_{k} g_{i h} = 0$ より

\nabla_{k} \nabla_{j} g_{i h} - \nabla_{j} \nabla_{k} g_{i h} = - \sum_{a} R_{k j i}^{a} g_{a h} - \sum_{a} R_{k j h}^{a} g_{i a} = 0

となる。ここで、 $R_{k j i h} = \sum_{a} R_{k j i}^{a} g_{a h}$ より

- \sum_{a} R_{k j i}^{a} g_{a h} - \sum_{a} R_{k j h}^{a} g_{i a} = - R_{k j i h} - R_{k j h i} = 0

従って、

R_{k j i h} = - R_{k j h i}

となり、リーマン-クリストッフェルのテンソル $R_{k j i h}$ 後ろ二つの添字 (i , h) について交代の性質を持つ

リッチテンソルの性質

リッチテンソルは対称テンソル

リーマン曲率テンソルの性質

R_{k j i}^{h} + R_{i k j}^{h} + R_{j i k}^{h} = 0

に対して h = k = a とおいて縮約を行うと

\sum_{a} (R_{a j i}^{a} + R_{i a j}^{a} + R_{j i a}^{a}) = 0 - (*)

となる。ここで、最初の二項についてそれぞれ

\sum_{a} R_{a j i}^{a} = R_{j i}, \sum_{a} R_{i a j}^{a} = \sum_{a} (- R_{a i j}^{a}) = - R_{i j}

が得られる。また、最後の三項目について

\sum_{a} R_{j i a}^{a} = \sum_{a, b} R_{j i a b} g^{b a} = \sum_{a, b} (- R_{j i b a}) g^{b a} = - \sum_{b, a} R_{j i b a} g^{a b}

から

\sum_{a} R_{j i a}^{a} = 0

を得る。したがって、（※）から

R_{j i} - R_{i j} + 0 = 0

すなわち、

R_{j i} = R_{i j}

が導かれる。よってリッチテンソル $R_{i j}$ は対称テンソル。

∂g/∂x_k = 0 のときの表示

リッチテンソルの定義より

\begin{matrix} R_{j i} & = \sum_{a} R_{a j i}^{a} = \sum_{a} (\frac{\partial {\binom{a}{j i}}}{\partial x^{a}} - \frac{\partial {\binom{a}{a i}}}{\partial x^{j}} + \sum_{b} {\binom{a}{a b}} {\binom{b}{j i}} - \sum_{b} {\binom{a}{j b}} {\binom{b}{a i}}) \\ = \sum_{a} (\frac{\partial {\binom{a}{j i}}}{\partial x^{a}} - \sum_{b} {\binom{a}{j b}} {\binom{b}{a i}}) + \sum_{a} (- \frac{\partial {\binom{a}{a i}}}{\partial x^{j}} + \sum_{b} {\binom{a}{a b}} {\binom{b}{j i}}) \end{matrix}

ここで、

A_{j i} = \sum_{a} (\frac{\partial {\binom{a}{j i}}}{\partial x^{a}} - \sum_{b} {\binom{a}{j b}} {\binom{b}{a i}}), B_{j i} = \sum_{a} (- \frac{\partial {\binom{a}{a i}}}{\partial x^{j}} + \sum_{b} {\binom{a}{a b}} {\binom{b}{j i}})

と置くと、当然 $R_{j i} = A_{j i} + B_{j i}$ となるが、B_{j i} について、g = det(g_{a b}) とすると

\sum_{a} {\binom{a}{a k}} = \frac{\partial \log \sqrt{g}}{\partial x^{k}}

テンプレート:See also であることから、

B_{j i} = - \frac{\partial^{2} \log \sqrt{g}}{\partial x^{j} \partial x^{i}} + \sum_{b} \frac{\partial \log \sqrt{g}}{\partial x^{b}} {\binom{b}{j i}}

を得る。したがって、 $\frac{\partial g}{\partial x^{k}} = 0$ のときは、B_{j i} = 0 であり、

R_{j i} = A_{j i} = \sum_{a} \frac{\partial {\binom{a}{j i}}}{\partial x^{a}} - \sum_{a, b} {\binom{a}{j b}} {\binom{b}{a i}}

となる。

リーマン多様体のある領域がユークリッド空間である必要十分条件はリーマン曲率テンソルが0

リーマン多様体においては、ごく近い2点間の距離（線素）テンプレート:Math は、

d s = \sqrt{\sum_{i, j} g_{i j} (x) d x^{i} d x^{j}}

で定義されるが、ここで、係数テンプレート:Math は、一般に座標テンプレート:Math の関数である。一方、ユークリッド空間においては、直交座標系をとればごく近い2点間の距離テンプレート:Math は

d s = \sqrt{\sum_{i, j} δ_{i j} d x^{i} d x^{j}}

で与えられるが、直交座標系（テンプレート:Math）から曲線座標系（テンプレート:Math）へ座標変換を行えば、あらわれる係数テンプレート:Math は座標テンプレート:Mvar の関数となり、テンプレート:Math はリーマン多様体と同様の形式となる。ただし、これは見かけ上だけのことであり、もともとユークリッド空間であるので当然適当な座標系（この場合は元の直交座標系）をとればテンプレート:Math を全て定数（1または0など）にすることができる。一般にリーマン多様体の各点に与えられる基本計量テンソルテンプレート:Math を定数にする座標変換は存在しないが、もしリーマン多様体の一部の領域について適当な座標変換によりテンプレート:Math を定数にすることができるのであれば、その領域はユークリッド空間に一致する。

したがって、テンプレート:Quotation ここで、テンプレート:Math が全て定数であれば、クリストッフェル記号はその定義から明らかに0となる。逆にクリストッフェル記号が0であれば、リッチの補定理 $\nabla_{k} g_{i j} = 0$ から

\nabla_{k} g_{i j} = \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^{k}} - \sum_{a} g_{a j} {\binom{a}{i k}} - \sum_{a} g_{i a} {\binom{a}{j k}} = \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^{k}} = 0

となり、テンプレート:Math は全て定数となる。よって、テンプレート:Quotation ここで、座標系（テンプレート:Math）がクリストッフェル記号を全て0にする座標系とすれば、クリストッフェル記号の変換公式^[4]より

\frac{\partial^{2} u^{a}}{\partial x^{j} \partial x^{k}} = \sum_{i} \frac{\partial u^{a}}{\partial x^{i}} {\binom{i}{j k}}

が得られる。両辺偏微分を行うと

\frac{\partial^{3} u^{a}}{\partial x^{l} \partial x^{j} \partial x^{k}} = \sum_{i} \frac{\partial^{2} u^{a}}{\partial x^{l} \partial x^{i}} {\binom{i}{j k}} + \sum_{i} \frac{\partial u^{a}}{\partial x^{i}} \frac{\partial {\binom{i}{j k}}}{\partial x^{l}} = \sum_{b, i} \frac{\partial u^{a}}{\partial x^{b}} {\binom{b}{l i}} {\binom{i}{j k}} + \sum_{i} \frac{\partial u^{a}}{\partial x^{i}} \frac{\partial {\binom{i}{j k}}}{\partial x^{l}}

となる。

\frac{\partial^{3} u^{a}}{\partial x^{l} \partial x^{j} \partial x^{k}} = \frac{\partial^{3} u^{a}}{\partial x^{j} \partial x^{l} \partial x^{k}}

から

\begin{matrix} 0 & = \frac{\partial^{3} u^{a}}{\partial x^{l} \partial x^{j} \partial x^{k}} - \frac{\partial^{3} u^{a}}{\partial x^{j} \partial x^{l} \partial x^{k}} \\ = \frac{\partial u^{a}}{\partial x^{b}} [\frac{\partial {\binom{b}{j k}}}{\partial x^{l}} - \frac{\partial {\binom{b}{l k}}}{\partial x^{j}} + \sum_{i} {\binom{b}{l i}} {\binom{i}{j k}} - \sum_{i} {\binom{b}{j i}} {\binom{i}{l k}}] \\ = \frac{\partial u^{a}}{\partial x^{b}} R_{j k l}^{b} \end{matrix}

したがって、 $R_{j k l}^{b} = 0$ 。

曲面の曲率

二次元曲面に対して、ビアンキ恒等式はリーマンテンソルがテンプレート:Indent の形に表せることを示している。ここで g_ab はこの曲面の計量テンソル、K はガウス曲率と呼ばれる函数で、a, b, c, d は 1 または 2 のいずれかの値をとる。期待の通り、このリーマン曲率テンソルは独立成分をただ一つだけ持つ。

ガウス曲率は、この曲面の断面曲率と一致し、また 2-次元多様体のスカラー曲率のちょうど半分にもなっている。同時に、この曲面のリッチ曲率テンソルは単にテンプレート:Indent として与えられる。

脚注

↑ なお、一般の r 階共変テンソル $S_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}}$ の共変微分に関するリッチの公式は以下
$\nabla_{k} \nabla_{j} S_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} - \nabla_{j} \nabla_{k} S_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} = - \sum_{p = 1}^{r} \sum_{a} R_{k j i_{p}}^{a} S_{i_{1} i_{2} \dots a \dots i_{r}}$ （リッチの公式）
となる。
↑ すなわち、リーマン曲率テンソルは「共変微分の非可換さ」を測るものである。
↑ ただし、
$- \sum_{k, j, i, h} R_{k j i h} u^{k} v^{j} u^{i} v^{h}$
が、互いに直交する単位ベクトル u^h と v^h の定める切口に関する断面曲率となるという意味でそのように呼ばれる。矢野(1971) p.206
以後、使い分けのため、リーマン-クリストッフェルのテンソルというときはこの4階共変テンソルを指すこととする。
↑ 座標系（u^h）から座標系（x^h）へのクリストッフェル記号の座標変換公式
$\sum_{i} \frac{\partial u^{a}}{\partial x^{i}} {\binom{i}{j k}} = \sum_{b, c} \frac{\partial u^{b}}{\partial x^{j}} \frac{\partial u^{c}}{\partial x^{k}} {\overline{\binom{a}{b c}}} + \frac{\partial^{2} u^{a}}{\partial x^{j} \partial x^{k}}$
座標系（u^h）がクリストッフェル記号を全て1にする
${\overline{\binom{a}{b c}}} = 0$
とすれば、
$\frac{\partial u^{a}}{\partial x^{i}} {\binom{i}{j k}} = \frac{\partial^{2} u^{a}}{\partial x^{j} \partial x^{k}}$
が得られる。

参考文献

テンプレート:Tensors テンプレート:Curvature

[1] なお、一般の r 階共変テンソル $S_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}}$ の共変微分に関するリッチの公式は以下
$\nabla_{k} \nabla_{j} S_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} - \nabla_{j} \nabla_{k} S_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} = - \sum_{p = 1}^{r} \sum_{a} R_{k j i_{p}}^{a} S_{i_{1} i_{2} \dots a \dots i_{r}}$ （リッチの公式）
となる。

[2] すなわち、リーマン曲率テンソルは「共変微分の非可換さ」を測るものである。

[3] ただし、
$- \sum_{k, j, i, h} R_{k j i h} u^{k} v^{j} u^{i} v^{h}$
が、互いに直交する単位ベクトル u^h と v^h の定める切口に関する断面曲率となるという意味でそのように呼ばれる。矢野(1971) p.206
以後、使い分けのため、リーマン-クリストッフェルのテンソルというときはこの4階共変テンソルを指すこととする。

[4] 座標系（u^h）から座標系（x^h）へのクリストッフェル記号の座標変換公式
$\sum_{i} \frac{\partial u^{a}}{\partial x^{i}} {\binom{i}{j k}} = \sum_{b, c} \frac{\partial u^{b}}{\partial x^{j}} \frac{\partial u^{c}}{\partial x^{k}} {\overline{\binom{a}{b c}}} + \frac{\partial^{2} u^{a}}{\partial x^{j} \partial x^{k}}$
座標系（u^h）がクリストッフェル記号を全て1にする
${\overline{\binom{a}{b c}}} = 0$
とすれば、
$\frac{\partial u^{a}}{\partial x^{i}} {\binom{i}{j k}} = \frac{\partial^{2} u^{a}}{\partial x^{j} \partial x^{k}}$
が得られる。

[1]

[2]

[3]

[4]

リーマン曲率テンソル

目次

定義

（3階共変1階反変）リーマン曲率テンソル（Riemann curvature tensor）

（4階共変）リーマン-クリストッフェルのテンソル（Rieman-Christoffel tensor）

リッチテンソル（Ricci tensor）

曲率スカラー（curvature scalar）

テンソルの性質

（3階共変1階反変）リーマン曲率テンソルの性質

ビアンキの第二恒等式（the second Bianchi identity）

（4階共変）リーマン-クリストッフェルのテンソルの性質

後ろ二つの添字について交代

リッチテンソルの性質

リッチテンソルは対称テンソル

∂g/∂x_k = 0 のときの表示

リーマン多様体のある領域がユークリッド空間である必要十分条件はリーマン曲率テンソルが0

曲面の曲率

脚注

関連項目

参考文献

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定義

（3階共変1階反変）リーマン曲率テンソル（Riemann curvature tensor）

（4階共変）リーマン-クリストッフェルのテンソル（Rieman-Christoffel tensor）

リッチテンソル（Ricci tensor）

曲率スカラー（curvature scalar）

テンソルの性質

（3階共変1階反変）リーマン曲率テンソルの性質

ビアンキの第二恒等式（the second Bianchi identity）

（4階共変）リーマン-クリストッフェルのテンソルの性質

後ろ二つの添字について交代

リッチテンソルの性質

リッチテンソルは対称テンソル

∂g/∂xk = 0 のときの表示

リーマン多様体のある領域がユークリッド空間である必要十分条件はリーマン曲率テンソルが0

曲面の曲率

脚注

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