ディガンマ関数

実数x に対するψ(x)の挙動

複素平面上でのψ(z )。点z における色が ψ(z) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表す。

数学において、ディガンマ関数（でぃがんまかんすう、テンプレート:Lang-en-short）あるいはプサイ関数（ぷさいかんすう、テンプレート:Lang-en-short）とはガンマ関数の対数微分で定義される特殊関数。ポリガンマ関数の一種である。

定義

ガンマ関数 $\mathrm{\Gamma }(z)$ に対し、その対数微分

$\psi (z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

をディガンマ関数と呼ぶ。

ディガンマ関数は、$z=0,-1,-2,\dots (z\in \mathbb{Z}\setminus {\mathbb{Z}}^{+})$ で一位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

基本的性質

ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{z(z+1)\cdots (z+n)}{n^{z}n!}$

を対数微分することで、ディガンマ関数における

$\psi (z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{\ln n-\sum _{k=0}^n\frac{1}{z+k}\}$

という表示を得る。特に $z=1$とすれば、次の特殊値

$\psi (1)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{\ln n-\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\}=-\gamma$

を得る。但し、$\gamma =0.5772\dots$ はオイラーの定数である。

また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす。

$\psi (z+1)=\psi (z)+\frac{1}{z}$

この関係式から、一般に

$\psi (z+n)=\psi (z)+\sum _{k=1}^n\frac{1}{z+k-1}$

であり、特に $z=1$とすれば、特殊値

$\psi (n+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

が得られる。

級数表示

ディガンマ関数とその導関数は $z\ne 0,-1,-2,-3,\dots (z\in ℂ\setminus \{0,{\mathbb{Z}}^{-}\})$ で次の級数表示を持つ。

$\psi (z)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{z+n}-\frac{1}{n+1})=-\gamma +\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z-1}{(n+1)(z+n)}$

${\psi }^{(k)}(z)=(-1{)}^{k+1}k!\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^{k+1}}$

これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=z{e}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n})e^{-z/n}$

の対数微分から導かれるものである、

また、$z=0$ でのテイラー展開により、$|z|<1$ の領域で次のように級数表示される。

$\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\zeta (n)z^{n-1}$

ただし、$\zeta (n)$ はリーマンゼータ関数を表す。

積分表示

$\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>0$ のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。

• $\psi (z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(e^{-s}-\frac{1}{(1+s{)}^z})\frac{\mathrm{d}s}{s}$

• $\psi (z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-zs}}{1-e^{-s}})\mathrm{d}s$

• $\psi (z)=-\gamma +\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{s^{z-1}-1}{s^z(s-1)}\mathrm{d}s$

• $\psi (z+1)=\ln z-\frac{1}{2z}-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{2}\coth \left(\frac{s}{2}\right)-\frac{1}{s})e^{-zs}\mathrm{d}s$

但し、$\coth \left(\frac{s}{2}\right)$ は双曲線余接関数を表す。

また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。

• $\psi (y)-\psi (x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}\mathrm{d}u$

相反公式

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

$\psi (1-z)-\psi (z)=\pi \cot (\pi z)$

但し、$\cot (\pi z)$ は余接関数を表す。

漸近展開

$z\to \mathrm{\infty }(|\arg z|<\pi )$ のとき、ディガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

$\begin{array}{cc}\psi (z)& \sim \ln z-\frac{1}{2z}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}}{2n{z}^{2n}}\\ & =\ln z-\frac{1}{2z}-\frac{1}{12z^2}+\frac{1}{120z^4}-\frac{1}{252z^6}+\cdots \end{array}$

但し、$B_{2n}$ はベルヌーイ数である。

特殊値

ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。

• $\psi (1)=-\gamma$

• $\psi (n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=-\gamma +H_{n-1}\{n\mid n\in {\mathbb{Z}}^{+}\setminus \{1\}\}$

但し、$H_{n-1}$は調和数を表す。

また、正の半整数において、次の値をとる。

• $\psi (1/2)=-\gamma -2\ln 2$

• $\psi (n+1/2)=-\gamma -2\ln 2+2\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+1}\{n\mid n\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover (1965) ISBN 978-0486612720
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) ISBN 978-0521588072
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 権平健一郎、神原武志、小山直人 (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) ISBN 978-4061539792

関連項目

• ガンマ関数
• ポリガンマ関数