レゾルベント集合

数学の、線形代数や作用素論の分野における、ある線形作用素のレゾルベント集合（レゾルベントしゅうごう、テンプレート:Lang-en-short）とは、その作用素がある意味でテンプレート:仮リンクものとなるための複素数からなる集合である。レゾルベント法において重要な役割を担う。

定義

X をバナッハ空間とし、$L:D(L)\to X$ を、定義域が $D(L)\subseteq X$ であるような線形作用素とする。X 上の恒等作用素を id と表す。任意の $\lambda \in ℂ$ に対し

$L_{\lambda }=L-\lambda \mathrm{i}\mathrm{d}$

を定める。作用素 $L_{\lambda }$ の逆作用素 $R(\lambda ,L)$ が、次の三つの条件を満たすとき、$\lambda$ は正則値（regular value）と呼ばれる:

1. そのような逆 $R(\lambda ,L)$ が存在する;
2. そのような逆 $R(\lambda ,L)$ は有界線形作用素である;
3. そのような逆 $R(\lambda ,L)$ は、X において稠密な部分空間の上で定義される。

作用素 L のレゾルベント集合とは、L のすべての正則値からなる集合

$\rho (L)=\{\lambda \in 𝐂|$ $\lambda$ は $L$ の正則値 $\}$

である。スペクトルとは、レゾルベント集合の補集合

$\sigma (L)=𝐂\setminus \rho (L).$

である。スペクトルはさらに、点スペクトル（上の条件 1 が満たされない場合）、連続スペクトル（上の条件 1 と 3 は満たされるが、2 が満たされない場合）および剰余スペクトル（上の条件 1 は満たされるが、3 は満たされない場合）の三種類に区分される。

性質

• 有界線形作用素 L のレゾルベント集合 $\rho (L)\subseteq ℂ$ は開集合である。

参考文献

• テンプレート:Cite book テンプレート:MathSciNet (See section 8.3)

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM