作用素論

数学における作用素論（さようそろん、テンプレート:Lang-en-short）は、微分作用素や積分作用素をはじめとする線型作用素の研究である。各作用素は、有界性や閉性などといった特徴によって抽象的に表すことができ、また非線型作用素なども視野に含むこともあり得る。そのような研究は函数空間の位相に非常に依存しており、函数解析学の一分科を成す。

作用素の集合が体上の多元環を成すならば、それを作用素環と呼ぶ。作用素環を記述することもまた作用素論の一部である。

個別の作用素論

個々の作用素論では、個別に与えられた作用素の性質や分類について扱う。例えば、スペクトルを用いた正規作用素の分類はこの範疇に属する。

作用素のスペクトル

テンプレート:Main スペクトル定理は線型作用素や行列に関する無数の結果の総称である。広義のスペクトル定理は、作用素や行列が対角化可能である（即ち適当な基底の下で対角行列に表せること）ための条件を提示するものをいう。この対角化可能の概念は直接には有限次元空間に対するものだが、無限次元空間上の作用素に対しては少々の修正を要する。一般に、スペクトル定理はもっとも単純な場合として乗算作用素によって形作ることのできる線型作用素のクラスを同定するものである。より抽象的には、スペクトル定理は可換[[C*-環| Cテンプレート:Msup-環]]に関する主張ということができる。歴史的背景はスペクトル論の項を参照。

スペクトル定理が適用できるような作用素の例としては、自己随伴作用素やより一般にヒルベルト空間上の正規作用素などが挙げられる。

スペクトル定理はまた、作用素の作用する台となるベクトル空間に関する（スペクトル分解、固有分解（固有値分解）などと呼ばれる）標準分解 (canonical decomposition) をも提示する。

正規作用素

テンプレート:Main 複素ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の正規作用素は、連続線型作用素 テンプレート:Math であって自身のエルミート共軛 テンプレート:Math と可換 (テンプレート:Math) となるものである。

正規作用素はそれに対するスペクトル定理が成り立つという点で重要である。今日では正規作用素のクラスはよく理解されている。正規作用素の例には

• ユニタリ作用素: テンプレート:Math.
• エルミート作用素（自己随伴作用素）: テンプレート:Math,
• 反自己随伴作用素: テンプレート:Math.
• テンプレート:仮リンク: テンプレート:Math（テンプレート:Mvar は適当な有界作用素）

などが挙げられる。また、正規行列は テンプレート:Mvar を有限次元ヒルベルト空間とみるときの正規作用素のことと考えることができる。

スペクトル定理は行列のより一般のクラスに拡張できる。テンプレート:Mvar は有限次元内積空間上の作用素とする。テンプレート:Mvar が正規行列であるとは、テンプレート:Math を満たすことを言う。テンプレート:Mvar が正規であるための必要十分条件が「それがユニタリ行列で対角化可能であること」であることを示すことができる。実際、シューア分解により テンプレート:Mvar（テンプレート:Mvar はユニタリ、テンプレート:Mvar は上三角）と書くと、テンプレート:Mvar は正規ゆえ テンプレート:Mvar となり、テンプレート:Mvar は対角行列でなければならない（正規な上三角行列は対角行列である）。逆は明らか。

即ち、テンプレート:Mvar が正規であるための必要十分条件は、ユニタリ行列 テンプレート:Mvar と対角行列 テンプレート:Mvar で

$A=UD{U}^{*}$

を満たすものが存在することである。このとき テンプレート:Mvar の対角成分には テンプレート:Mvar の固有値が並び、対応するテンプレート:Mvar の列ベクトルには各固有値に付随する テンプレート:Mvar の固有ベクトルが並ぶ。これら列ベクトルは正規直交系を成す。エルミート行列の場合と異なり、テンプレート:Mvar の成分は実数とは限らない。

極分解

テンプレート:Main 複素ヒルベルト空間の間の任意の有界線型作用素 テンプレート:Mvar の極分解は、部分等距作用素と非負作用素の積への標準分解である。

行列に対する極分解は以下のように一般化する。テンプレート:Mvar が有界線型作用素であるとき、部分等距変換 テンプレート:Mvar と非負自己随伴作用素 テンプレート:Mvar で テンプレート:Mvar の始空間が テンプレート:Mvar の値域の閉包に一致するものの積として テンプレート:Mvar の一意的な分解 テンプレート:Math が存在する。

以下のような理由により、作用素 テンプレート:Mvar はユニタリではなく部分等距変換に弱める必要がある。テンプレート:Mvar が テンプレート:Math 上の片側シフト ならば、テンプレート:Math であるから、テンプレート:Math ならば テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar でなくてはならないがこれはユニタリではない。

極分解の存在性はテンプレート:仮リンク

補題 (Douglas)

テンプレート:Mvar はヒルベルト空間 テンプレート:Mvar 上の有界作用素で テンプレート:Math を満たすとする。このとき、テンプレート:Math を満たす縮小写像 テンプレート:Mvar が存在する。さらに テンプレート:Math ならば テンプレート:Mvar は一意である。

の帰結である。作用素 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math とおき、連続性により テンプレート:Math まで延長して、テンプレート:Math の直交補空間では テンプレート:Math とすれば定義できる。この作用素 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math から テンプレート:Math が従うから矛盾なく定義される。よって補題は示された。

特にテンプレート:Math ならば テンプレート:Mvar は部分等距であり、これは テンプレート:Math のとき一意である。一般に任意の有界作用素 テンプレート:Mvar に対し、通常の汎函数計算で与えられる テンプレート:Math の平方根を テンプレート:Math として

$A^{*}A=(A^{*}A{)}^{\frac{1}{2}}(A^{*}A{)}^{\frac{1}{2}}$

が成り立つから、補題により適当な部分等距変換 テンプレート:Mvar に対して

$A=U(A^{*}A{)}^{\frac{1}{2}}$

となる。テンプレート:Mvar は テンプレート:Math のとき一意である（テンプレート:Math とすると テンプレート:Math に注意）。テンプレート:Mvar として テンプレート:Math をとれば極分解 テンプレート:Math を得る。同様の論法が、正作用素 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar が部分等距として テンプレート:Mvar を示すのにも有効であることを確認せよ。

テンプレート:Mvar が有限次元のときには テンプレート:Mvar はユニタリ作用素に延長できるが、これは一般には成り立たない（上述）。その代りに極分解は特異値分解の作用素版を用いて示すことができる。

テンプレート:仮リンクの性質により、極分解における絶対値 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の生成する[[C*-環| Cテンプレート:Msup-環]]に属する。偏極部 テンプレート:Mvar に対しても、同様だがより弱い主張が成立し、偏極部 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の生成するフォンノイマン環に属する。テンプレート:Mvar が可逆ならば テンプレート:Mvar は絶対値同様に テンプレート:Mvar の生成する テンプレート:Math-環に属する。

作用素環

作用素環論では、C*-環などの作用素環の研究を前面に掲げる。

テンプレート:Math-環

テンプレート:Main テンプレート:Math-環 テンプレート:Mvar は複素数体上のバナハ環であって、対合 テンプレート:Math を備える。テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar の テンプレート:Math による像を テンプレート:Math と書くとき、対合 テンプレート:Math は以下の性質を満たす

• テンプレート:仮リンク: 任意の テンプレート:Math に対して

  $x^{**}=(x^{*}{)}^{*}=x.$

• 任意の テンプレート:Math に対して

  $(x+y{)}^{*}=x^{*}+y^{*}.$

  $(xy{)}^{*}=y^{*}{x}^{*}.$

• 任意の テンプレート:Math および任意の テンプレート:Math に対して

  $(\lambda x{)}^{*}=\bar{\lambda }{x}^{*}.$

• 任意の テンプレート:Math に対して

  $\Vert x^{*}x\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{*}\Vert .$

確認事項

上三項は テンプレート:Mvar が *-環（対合環）となることを言うものである。最後の等式を テンプレート:Math-恒等式と呼び、テンプレート:Math と同値である。この テンプレート:Math-恒等式は非常に強い要求である。例えばスペクトル半径公式と合わせて、テンプレート:Math-ノルムが、

$\Vert x{\Vert }^2=\Vert x^{*}x\Vert =\sup \{|\lambda |:x^{*}x-\lambda 1\text{ is not invertible}\}$

としてその代数構造から一意に決定されることが導かれる。

関連項目

• 不変部分空間
• 汎函数計算
• スペクトル論
  • レゾルベント
• コンパクト作用素
  • 積分方程式のフレドホルム理論
    • 積分作用素
    • フレドホルム作用素
• 自己共役作用素
• 非有界作用素
  • 微分作用素
• 陰計算
• 縮小写像
• ヒルベルト空間上のテンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク上の非負作用素

関連文献

• Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
• テンプレート:Cite book
• Simon, B. (2015). Operator theory. American Mathematical Society.
• Alpay, D., Cipriani, F., Colombo, F., Guido, D., Sabadini, I., & Sauvageot, J. L. (2016). Noncommutative analysis, operator theory and applications. Springer International Publishing.

外部リンク

• History of Operator Theory（外部リンク）