ベクトル測度

数学の分野におけるベクトル測度（ベクトルそくど、テンプレート:Lang-en-short）とは、ある集合族上で定義される、ある特定の性質を備えたベクトル値関数である。非負実数値のみを取る測度の概念の一般化である。

定義と第一の帰結

集合体 $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ とバナッハ空間 $X$ が与えられたとき、有限加法的ベクトル測度（あるいは、簡潔に測度）とは、$ℱ$ 内の任意の互いに素な集合 $A$ と $B$ に対して

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

が成り立つような関数 $\mu :ℱ\to X$ のことを言う。

ベクトル測度 $\mu$ が可算加法的であるとは、$ℱ$ 内の任意の互いに素な集合の列 $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ でその合併が　$ℱ$ に含まれるようなものに対して、

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_i)$

が成り立つことを言う。但し、右辺の級数はバナッハ空間 $X$ のノルムについて収束するものとする。

加法的ベクトル測度 $\mu$ が可算加法的であるための必要十分条件は、上述のような任意の列 $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ に対して

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert \mu \left(\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\Vert =0,(*)$

が成り立つことである。ここで $\Vert \cdot \Vert$ は $X$ のノルムである。

σ-代数上で定義される可算加法的ベクトル測度は、測度や符号付測度、複素測度よりも一般的である。ただしそれらは、それぞれ拡大区間 $[0,\mathrm{\infty }]$、実数の集合、および複素数の集合上に値を取る可算加法的関数である。

例

区間 $[0,1]$ およびその区間に含まれるすべてのルベーグ可測集合の族 $ℱ$ から成る集合体を考える。そのような任意の集合 $A$ に対して

$\mu (A)={\chi }_A$

を定義する。ここで $\chi$ は $A$ の指示関数である。この $\mu$ がどの空間に値を取るかによって、次の様な二つの異なる結果が生じる。

• $ℱ$ から L^p 空間 $L^{\mathrm{\infty }}([0,1])$ への関数と見なされたとき、$\mu$ は可算加法的ではないベクトル測度である。

• $ℱ$ から L^p 空間 $L^1([0,1])$ への関数と見なされたとき、$\mu$ は可算加法的なベクトル測度である。

これらの陳述は、上述の条件 (*) から簡単に従う。

ベクトル測度の変分

ベクトル測度 $\mu :ℱ\to X$ に対し、その変分（variation）$|\mu |$ は

$|\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^n\Vert \mu (A_i)\Vert$

によって定義される。ここで右辺の上限は、$ℱ$ 内のすべての $A$ に対してその有限数の互いに素な集合へのすべての分割

$A=\bigcup _{i=1}^n{A}_i$

に対して取られる。また $\Vert \cdot \Vert$ は $X$ 上のノルムである。$\mu$ の変分は $[0,\mathrm{\infty }]$ に値を取る有限加法的関数である。$ℱ$ 内の任意の $A$ に対して

$\Vert \mu (A)\Vert \le |\mu |(A)$

が成立する。$|\mu |(\mathrm{\Omega })$ が有限であるなら、測度 $\mu$ は有界変分（bounded variation）に属すると言われる。$\mu$ が有界変分のベクトル測度であるなら、$\mu$ が可算加法的であることと $|\mu |$ が可算加法的であることは同値である。

リャプノフの定理

ベクトル測度の理論におけるリャプノフの定理によれば、（テンプレート:仮リンクな）ベクトル測度の値域は閉かつ凸である 。実際、非原子的なベクトル測度の値域はゾノイド（ゾノトープの収束列の極限であるような閉凸集合）である。この定理は、数理経済学や、ビッグバン制御理論、およびテンプレート:仮リンクにおいて用いられる。リャプノフの定理は、その離散相似と見なされるテンプレート:仮リンクを用いることによって証明される

脚注

書籍

• テンプレート:Cite book
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• Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.
• テンプレート:SpringerEOM

関連項目

• ボホナー積分