ドルボーコホモロジー

テンプレート:出典の明記 数学、特に代数幾何学および微分幾何学におけるドルボーコホモロジー (テンプレート:Lang-en-short）は複素多様体に対するドラームコホモロジーの類似対応物で、名称はテンプレート:Ill2に因む。複素多様体 テンプレート:Mvar のドルボーコホモロジー群 テンプレート:Math は整数の対 テンプレート:Mvar をパラメータに持ち、次数 テンプレート:Math-の複素微分形式の空間の部分商として実現される。

コホモロジー群の構成

次数 テンプレート:Math の複素微分形式全体の成すベクトル束を テンプレート:Math と書く。ドルボー作用素（定義は複素微分形式の項を参照せよ）は滑らかな切断上の微分作用素 $$\overline{\partial }:\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q})\to \mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q+1})$$ として定義される。これは${\overline{\partial }}^2=0$ を満たすから、適当なコホモロジーが付随する。具体的には商空間 $$H^{p,q}(M,ℂ):=\frac{\ker (\overline{\partial }:\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q},M)\to \mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q+1},M))}{\overline{\partial }\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q-1})}$$ としてコホモロジーが定義される。

ベクトル束のドルボーコホモロジー

テンプレート:Mvar を複素多様体 テンプレート:Mvar 上の正則ベクトル束とすれば、同様に テンプレート:Mvar の正則切断の成す層 $𝒪(E)$ の細層分解が定義でき、そしてこれは $𝒪(E)$ の層係数コホモロジーを想起させる。

ドルボーの定理

ドルボーの定理はドラームの定理の複素版テンプレート:Efnで、ドルボーコホモロジーが正則微分形式の層に関する層係数コホモロジーに同型であることを主張する。

定理 (Dolbeault)

複素多様体 テンプレート:Mvar 上の正則 テンプレート:Mvar-形式全体の成す層を テンプレート:Math と書けば、 $$H^{p,q}(M)\cong H^q(M,{\mathrm{\Omega }}^p)$$ が成り立つ。

対数的微分形式に対する同様の定理もある。

証明

${ℱ}^{p,q}$ を テンプレート:Math 次の テンプレート:Math-級複素微分形式全体の成す細層とすれば テンプレート:Math に関するポワンカレの補題により系列 $${\mathrm{\Omega }}^{p,q}\stackrel{\bar{\partial }}{\to }{ℱ}^{p,q+1}\stackrel{\bar{\partial }}{\to }{ℱ}^{p,q+2}\stackrel{\bar{\partial }}{\to }\cdots$$ は完全である。任意の長完全列と同様にこの列を短完全列に分解し、対応するコホモロジーの長完全列を作れば、細層の高次コホモロジーは消えるのだから、所期の結果を得る。

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:Nlab
• テンプレート:MathWorld