重調和方程式

数学における重調和方程式（テンプレート:Lang-en-short）とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である：

\nabla^{4} φ = \nabla^{2} \nabla^{2} φ = Δ^{2} φ = 0 .

ここでテンプレート:Math は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素テンプレート:Math の自乗で、重調和作用素 テンプレート:En として知られている。

例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。

\frac{\partial^{4} φ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} φ}{\partial y^{4}} + \frac{\partial^{4} φ}{\partial z^{4}} + 2 \frac{\partial^{4} φ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + 2 \frac{\partial^{4} φ}{\partial y^{2} \partial z^{2}} + 2 \frac{\partial^{4} φ}{\partial x^{2} \partial z^{2}} = 0 .

重調和方程式の解は重調和関数 テンプレート:En と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。

重調和方程式は連続体力学の分野（線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など）において現れる。

2次元空間

2次元の場合の一般解は

x v (x, y) - y u (x, y) + w (x, y)

ここで $u (x, y), v (x, y), w (x, y)$ は調和関数で $v (x, y)$ は $u (x, y)$ の調和共役である。

2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける：

Im (\bar{z} f (z) + g (z))

ここで $f (z)$ と $g (z)$ は解析関数である。

2次元の極座標系では、重調和方程式は

\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial}{\partial r} (\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial φ}{\partial r}))) + \frac{2}{r^{2}} \frac{\partial^{4} φ}{\partial θ^{2} \partial r^{2}} + \frac{1}{r^{4}} \frac{\partial^{4} φ}{\partial θ^{4}} - \frac{2}{r^{3}} \frac{\partial^{3} φ}{\partial θ^{2} \partial r} + \frac{4}{r^{4}} \frac{\partial^{2} φ}{\partial θ^{2}} = 0

となる。これは変数分離法によって解ける。その結果はテンプレート:仮リンクと呼ばれる。

\nabla^{4} (\frac{1}{r}) = \frac{3 (15 - 8 n + n^{2})}{r^{5}}

ただし

r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}

は、テンプレート:Math のときのみ、重調和方程式となる。