擬凸性
数学の多変数複素函数の理論において、擬凸集合（ぎとつしゅうごう、テンプレート:Lang-en-short）は テンプレート:Mvar 次元複素空間 テンプレート:Math 内のある特殊なタイプの開集合である。擬凸集合が重要となるのは、それらが正則領域の分類に有用となるからである。
今
を領域、すなわち、開連結部分集合とする。テンプレート:Mvar が擬凸（あるいは、ハルトークス擬凸）であるとは、すべての実数 テンプレート:Mvar に対して
が テンプレート:Mvar の相対コンパクトな部分集合となるような、テンプレート:Mvar 上のある連続多重劣調和函数 テンプレート:Mvar が存在することを言う。言い換えると、テンプレート:Mvar が連続かつ多重劣調和なエグゾースチョン函数 (exhaustion function) を持つとき、その領域は擬凸である。
テンプレート:Mvar が テンプレート:Math（二階連続的微分可能）級の境界を持つとき、この概念はより簡単に扱えるレヴィ擬凸性となる。より具体的に、テンプレート:Math 級の境界を持つ テンプレート:Mvar には定義函数が存在することが示される。すなわち、テンプレート:Math および テンプレート:Math を満たすような テンプレート:Math 級の テンプレート:Math の存在が示される。今、テンプレート:Mvar が擬凸であるための必要十分条件は、すべての テンプレート:Math と、テンプレート:Mvar での複素接空間内の テンプレート:Mvar, すなわち
を満たすような テンプレート:Mvar に対して、
が成立することである。
テンプレート:Mvar の境界が テンプレート:Math 級でないなら、次の近似的な結果が有用となる。
命題1 テンプレート:Mvar が擬凸であるなら、境界が テンプレート:Math 級（滑らか）で、テンプレート:Mvar 内で相対コンパクトであるような有界強レヴィ擬凸領域 テンプレート:Math で
を満たすものが存在する。
この命題がなぜ成立するかと言うと、定義におけるような テンプレート:Mvar に対して、実際に テンプレート:Math エグゾースチョン函数 (exhaustion function) を得ることが出来るからである。
テンプレート:Math の場合
複素一次元において、すべての開領域は擬凸である。したがって擬凸性の概念は、より高次元の場合においてより有意義となる。
レヴィの問題
「擬凸領域は正則領域か？」と問う問題をレヴィの問題というテンプレート:Sfn。1911年にテンプレート:仮リンクによって提出された。
多変数函数論の発展に大きな影響を与えたこの問題は1942年に岡潔によって2変数の場合にまず解かれたテンプレート:Sfn。その後1953年に岡によって一般次元の場合にも解かれ、1954年にテンプレート:仮リンクやテンプレート:仮リンクによっても独立に解かれた。なお、未公表ではあったが1943年に岡は一般次元の場合も解いていたテンプレート:Sfn。一松信も1949年に公表された日本語の論文の中で一般次元の場合を解いていたテンプレート:Sfn。
1958年にテンプレート:仮リンクは岡の証明を簡易化したテンプレート:Sfn。1965年にラース・ヘルマンダーは 方程式を直接解く方法による別証明を得た。
岡潔だけはこの問題をフリードリヒ・ハルトークスにちなむハルトークスの逆問題という名前で呼んでいた[1]。レヴィの問題と異なり、ハルトークスの逆問題では境界の2回連続微分可能性を課さないので、その意味でより一般的なのだというテンプレート:Sfn。
この問題の解決により、正則領域がはじめて境界局所的な概念によって特徴づけられた[2]。
出典
関連項目
参考文献
- Lars Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. (ISBN 0-444-88446-7).
- Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
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