多変数複素関数

数学における多変数複素関数論（たへんすうふくそかんすうろん、テンプレート:Lang-en-short）とは、複素多変数の複素数値関数、すなわち、テンプレート:Math 個の複素数の組全体のなす数ベクトル空間 テンプレート:Math 上の複素数値関数

$f(z_1,z_2,\dots ,z_n)$

を扱う分野である。複素解析（これは テンプレート:Math の場合に当たる理論ではあるが、テンプレート:Math の場合とは一線を画す性質を持つ）と同様、任意の単なる函数を扱うものではなく、正則 (holomorphic) あるいは複素解析的 (complex analytic) な関数、つまり局所的に変数 テンプレート:Mvar たちの冪級数で書けるような関数を扱う。そのような関数は結局のところ、多項式列の局所一様極限として得られるような関数ということもでき、テンプレート:Mvar 次元コーシー・リーマンの方程式の局所解と言っても同じことであるということが分かる。

歴史的観点

上述のような関数の多くの例は、19世紀の数学においてよく研究されたものであった。例えばアーベル関数やテータ関数の他、ある種の超幾何級数がそのような例として挙げられる。またもちろん、ある複素媒介変数に依存する任意の一変数関数も、そのような例となる。しかしそれらの特徴的な現象は捉えられていなかったため、長年の間、解析学においてその理論の完成は十分ではなかった。テンプレート:仮リンクは現在では可換環論に分類されるであろう。それは、リーマン面の理論における分岐点の一般化を扱った局所的な描像である分岐を正当化したものである。

1930年代のフリードリヒ・ハルトークスと岡潔の成果により、一般理論の構築がなされ始めた。その当時の同分野における他の研究者には、ハインリヒ・ベーンケ、テンプレート:仮リンクおよびテンプレート:仮リンクがいる。ハルトークスは、テンプレート:Math のとき任意の解析的関数

$f:{𝐂}^n⟶𝐂$

に対してすべての孤立特異点は除去可能であるなど、いくつかの基本的な結果を証明した。ここで当然、周回積分と類似の概念は扱いが難しくなる。テンプレート:Math の場合だと、ある点の周りの積分は、（実4次元で考えるため）3次元多様体上で行わなければならず、また2つの別々の複素変数についての逐次周回（線）積分は2次元曲面上の二重積分として扱われる必要がある。このことは、留数計算が非常に異なる性質を持つようになることを意味する。

1945年以降、アンリ・カルタンのフランスでのセミナーにおける重要な研究や、テンプレート:仮リンクおよびテンプレート:仮リンクのドイツでの重要な研究によって、理論の描像は著しく変化した。多くの問題、特に解析接続についての問題が、明らかにされた。ここで一変数の理論との主要な違いが明らかになる。すなわち、１変数の場合はテンプレート:Math 内の任意の開連結集合 テンプレート:Mvar に対して、その境界を超えて解析接続できない関数を見つけることができるが、多変数テンプレート:Math の場合にはそのようなことはいえないのである。実際、そのような性質を持つ領域 テンプレート:Mvar はあるていど特殊なものになる（擬凸性と呼ばれる条件をもつ）。最大限解析接続された関数の自然な定義域は、シュタイン多様体と呼ばれ、その性質は層係数コホモロジー群が消えるというものである。実は、（特に）岡の仕事を、理論の定式化において層を首尾一貫して使用することを導いたよりはっきりした基本へとすることが必要だったのだ。

さらに進んで、解析幾何（紛らわしいが、これは解析函数の零点の幾何に関する名称であり、初中等教育で習うような解析幾何学のことではない）や多変数の保型形式、偏微分方程式などに応用できる基本的な理論が構築された。またテンプレート:仮リンクや複素多様体は、小平邦彦やドナルド・スペンサーによって一般的な形で記述された。さらに、セールの高名な論文GAGAにおいて、解析幾何 (テンプレート:Fr) を代数幾何 (テンプレート:Fr) へと橋渡す観点が突き止められた。

カール・ジーゲルは、新たな多変数複素関数論の対象になる関数がほとんどない、すなわち、理論における特殊関数的な側面は層に従属するものであったことに、不平をもらしたことが知られている。数論に対する興味は、確かに、モジュラー形式の特定の一般化にある。その古典的な代表例は、テンプレート:仮リンクやテンプレート:仮リンクである。今日においてそれらは、代数群と関連付けられている。（それぞれ GL(2) の総実代数体のテンプレート:仮リンクと、シンプレクティック群である。）それらは、保型表現が解析関数から生じうるものである。ある意味でこれはジーゲルとは矛盾しない。現代の理論はそれ自身の異なる方向性を持つものである。

その後の発展として、超関数 (hyperfunction) の理論やテンプレート:仮リンクが挙げられるが、それらはいずれも場の量子論からいくらかの着想を得たものである。その他、バナッハ環の理論など、多変数複素関数を利用する分野がいくつかある。

Cテンプレート:Sup 空間

最も簡単なシュタイン多様体は、複素数の テンプレート:Mvar-組からなる空間 テンプレート:Math（[[複素数空間|複素 テンプレート:Mvar-次元数空間]]）である。これは複素数体 テンプレート:Math 上の テンプレート:Mvar-次元ベクトル空間とみることができて、つまり[[実数|テンプレート:Math]] 上の次元が テンプレート:Math である。したがって、集合および位相空間として、テンプレート:Math は [[実数空間|テンプレート:Math]] と等しく、その位相次元は テンプレート:Math である。

座標に依らない形で述べるならば、複素数体上の任意のベクトル空間は、その2倍の次元を持つ実ベクトル空間と考えることができる。ここに複素構造は、虚数単位 テンプレート:Math によるスカラー倍を定義する線型作用素 テンプレート:Mvar（テンプレート:Math をみたす）によって特定される。

そのような任意の空間は、実空間として向き付けられている。ガウス平面をデカルト平面と見做したとき、複素数 テンプレート:Math を掛けるという操作は、実行列

$\left(\begin{array}{ccc}u& & -v\\ v& & u\end{array}\right)$

によって表現される。これは 2次実正方行列で、行列式は

$u^2+v^2=|w{|}^2$

となる。同様に、任意の有限次元複素線型作用素を実行列として表現すると（上述の形の 2×2 ブロックによって構成され）、その行列式は対応する複素行列式の絶対値の自乗に等しい。それは非負の数であり、このことは複素作用素によって空間の（実の）向き付けが逆になることはないことを意味する。同様のことは テンプレート:Math から テンプレート:Math への正則関数のヤコビ行列に対しても適用される。

正則関数

一変数複素関数の正則性の定義には、局所的に整級数で表されることを条件として定義する方法、コーシー・リーマン方程式を満たすことを条件として定義する方法、複素的に微分可能であることを条件として定義する方法の3通りの方法があった。多変数の場合にも複数の定義の仕方がある。

テンプレート:Mvar を2以上の整数としテンプレート:Efn、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の領域 テンプレート:Mvar 上定義された複素数値関数とする。テンプレート:Mvar に対する以下の条件は同値であり、いずれか一つ（したがって全て）を満たすとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上正則（holomorphic）であるという。

• テンプレート:Mvar の任意の点 テンプレート:Math に対し、この点の近傍で収束するべき級数を用いて テンプレート:Mvar は

$f(z)=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}_0^n}{c}_{\alpha }(z-z_0{)}^{\alpha }$

と表されるテンプレート:Sfn。ここで テンプレート:Math は0以上の整数のなす集合、テンプレート:Math は多重指数記法による冪である。

• テンプレート:Mvar の任意の点 テンプレート:Math に対し、この点の近傍で連続な関数 テンプレート:Math が存在しその近傍で

$f(z)=f(z^{(0)})+\sum _{j=1}^n{\alpha }_j(z)(z_j-z_j^{(0)})$

が成り立つ。

• テンプレート:Mvar は連続的微分可能な複素数値関数であり、各変数についてコーシー・リーマンの方程式を満たす。

• テンプレート:Mvar は連続であり、さらに、テンプレート:Mvar の各点で テンプレート:Mvar 個の変数のうち任意の テンプレート:Math 個の変数を固定し テンプレート:Mvar を残りの1個の変数の関数と見たとき、この1変数複素関数が正則である。後者の条件が満たされるとき、テンプレート:Mvar は各変数について正則であるというテンプレート:Sfn。

• テンプレート:Mvar は各変数について正則である（上の条件から連続という条件を外している）。

最後の条件を除く4条件が同値であることは、一変数複素関数の正則性の特徴づけやベキ級数の項別微分、コーシーの積分公式を用いれば示すことができるテンプレート:Sfn。最後の条件、つまり変数別の正則性から連続性が導かれることはハルトークスの正則性定理と呼ばれる著名な結果であるテンプレート:Sfn。

古典的には4番目の条件、つまり連続性と各変数についての正則性で多変数複素関数の正則性を定義していたテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

関連項目

• 連接層
• 双正則写像
• 正則領域
• 複素射影空間

定理

• カルタンの定理
• ハルトークスの拡張定理
• ハルトークスの定理

研究者

• 岡潔
• 大沢健夫

関連分野

• クザン問題
• 複素幾何学
• テンプレート:仮リンク

参考文献

洋書

• テンプレート:Cite book, Springer-Verlag, eISBN 978-3-642-99659-7 (電子版2013年).
• テンプレート:Cite book, Princeton Univ. Press, ISBN 978-0-69108032-1
• H.Grauert and K.Fritzsche(1976). Several Complex Variables, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-9876-2
• テンプレート:Cite book and later editions
• Hörmander, Lars(1990). An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, 3rd Ed., North Holland, テンプレート:ISBN2
• テンプレート:Cite book, 2nd Ed., AMS Chelsea pub., ISBN 978-0-8218-2724-6
• テンプレート:Cite book

和書

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book2016年に復刻出版。
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book2007年にPOD化して復刻出版。
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal2015年に単行本化。
• 樋口禎一、吉永悦男、渡辺公夫：「多変数複素解析入門」、森北出版（数学ライブラリー、51）（1980年10月20日）。
• テンプレート:Cite book
• 広中平祐、ト部東介：「解析空間入門」、朝倉書店（数理科学ライブラリー、1）(1981年10月25日)．
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book2008年に単行本化。
• テンプレート:Cite book2019年に復刻出版。
• テンプレート:Cite book
• 樋口禎一、吉永悦男、渡辺公夫:「多変数複素解析入門　POD版」、森北出版、ISBN 978-4-627-00519-8 (2003年9月)。（初版は1980年10月20日刊行）。
• 大沢健夫：「複素解析幾何と$\bar{\partial }$方程式」、培風館、 (2006年2月20日)。ISBN 4-563-00662-9。
• 梶原壤二：「複素関数論　POD版」、森北出版、ISBN 978-4-627-00029-2 (2007年5月）。（初版は1968年11月1日刊行）
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• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
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• 相原義弘、野口潤次郎：「複素解析：一変数・多変数の関数」、裳華房、ISBN 978-4-7853-1605-1（2024年3月25日)。