ハルトークスの拡張定理

数学の、特に多変数複素函数論において、ハルトークスの拡張定理(Hartogs' extension theorem)とは、多変数正則函数の特異点に関する定理である。 この定理は、多変数正則関数の特異点の台がコンパクトにならないこと、つまりおおざっぱに言うと、特異点集合がある方向に「無限遠まで伸びる」ということを述べている。 より正確には、この定理は テンプレート:Math 個の複素変数をもつ解析函数に対して、その孤立特異点がつねに除去可能特異点であることを示している。 この定理の最初のバージョンは、フリードリヒ・ハルトークスにより証明され、「ハルトークスの補題」や「ハルトークスの原理」としても知られている。初期のソ連の文献では、 この定理はオズグッド・ブラウンの定理(Osgood-Brown theorem)とも呼ばれ、後のテンプレート:仮リンク(William Fogg Osgood)とテンプレート:仮リンク(Arthur Barton Brown)の仕事としても知られている。この多変数の正則函数の性質はハルトークス現象(Hartogs' phenomenon)とも呼ばれている。しかし、「ハルトークス現象」という表現は、偏微分方程式系や畳み込み作用素の解がハルトークス形式の定理を満たすという性質を表すことにも同様に使われる。

歴史的な話題

元々の証明は1906年にフリードリヒ・ハルトークスにより与えられ、コーシーの積分公式を多変数複素函数に適用して証明された。現在は、通常、テンプレート:仮リンク(Bochner–Martinelli–Koppelman formula)か、コンパクトな台を持つ非同次コーシー・リーマンの方程式の解に依拠して証明される。コーシー・リーマンの方程式によるアプローチは、テンプレート:仮リンク(Leon Ehrenpreis)が論文 テンプレート:Harv で導入した。もうひとつの非常に単純な証明は、テンプレート:仮リンク(Gaetano Fichera)が論文 テンプレート:Harv で、多変数正則函数のディリクレ問題の解とCR関数に関連した概念を用いて与えた。後に、彼はこの定理を論文 テンプレート:Harv で偏微分方程式のあるクラスへ拡張し、さらにこのアイデアは、その後ギウリアーノ・バラッティ(Giuliano Bratti)により大きく拡張された。また、金子晃らの偏微分作用素の日本での研究も、この分野に大きく寄与している。彼らのアプローチは、テンプレート:仮リンク(Ehrenpreis' fundamental principle)を使うものである。

ハルトークス現象

一変数で成立するが多変数では成り立たない現象をハルトークス現象(Hartogs' phenomenon)という。この現象は、このハルトークスの拡張定理や正則領域の考え方、ひいては多変数複素函数論の発展を導いた。

2変数の場合を例にとり、$0<\epsilon <1$ として、二重円板 ${\mathrm{\Delta }}^2=\{z\in \mathbb{Z};|z_1|<1,|z_2|<1\}$ の内部領域

$H_{\epsilon }=\{z=(z_1,z_2)\in {\mathrm{\Delta }}^2:|z_1|<\epsilon \text{or}1-\epsilon <|z_2|\}$

を考える。

定理 テンプレート:Harvtxt: $H_{\epsilon }$ 上の任意の正則函数 $f$ は ${\mathrm{\Delta }}^2$ へ解析接続される。すなわち、${\mathrm{\Delta }}^2$ 上の正則函数 $F$ が存在し、$H_{\epsilon }$ 上で $F=f$ となる。

実際、コーシーの積分公式を使い、拡張された函数 $F$ 得ることができる。すべての正則函数は多重円板へ解析接続できて、多重円板はもとの正則函数が定義された領域よりも真に広くなる。このような現象は、一変数では決して起きない現象である。

次元 1 のときの反例

このハルトークスの拡張定理は テンプレート:Math のときには成り立たない。次元 1 でこの定理が成り立たないことを示すには、函数 テンプレート:Math を考えれば充分である。この函数は明らかに テンプレート:Math} の中では正則であるが、テンプレート:Math 全体上の正則函数として連続ではない。このように一変数と多変数の函数論の間の差異が顕わになることこそ、ハルトークス現象の性質である。

歴史的な参考文献

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• テンプレート:Citation. An historical paper correcting some inexact historical statements in the theory of holomorphic functions of several variables, particularly concerning contributions of Gaetano Fichera and Francesco Severi.
• テンプレート:Citation. This is the first paper where a general solution to the Dirichlet problem for pluriharmonic functions is solved for general real analyitic data on a real analytic hypersurface. A translation of the title reads as:-"Solution of the general Dirichlet problem for biharmonic functions".
• テンプレート:Citation. A translation of the title is:-"Lectures on analytic functions of several complex variables – Lectured in 1956–57 at the Istituto Nazionale di Alta Matematica in Rome". This book consist of lecture notes from a course held by Francesco Severi at the Istituto Nazionale di Alta Matematica (which at present bears his name), and includes appendices of Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza and Mario Benedicty.
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• テンプレート:Citation (Zentralblatt review of the original Russian edition). One of the first modern monographs on the theory of several complex variables, being different from other ones of the same period due to the extensive use of generalized functions.

参考文献

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• テンプレート:Citation. A translation of the title reads as:-"About an example of Fichera concerning Hartogs' phenomenon".
• テンプレート:Citation. An English translation of the title reads as:-"Extension of a theorem of Fichera for systems of P.D.E. with constant coefficients, concerning Hartogs' phenomenon".
• テンプレート:Citation. An English translation of the title reads as:-"On a theorem of Hartogs".
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• テンプレート:Citation. A fundamental paper in the theory of Hrtogs' phenomenon. The typographical error in the title is reproduced in as it is appears in the original version of the paper.
• テンプレート:Citation. An epoch-making paper in the theory of CR-functions, where the Dirichlet problem for analytic functions of several complex variables is solved for general data. A translation of the title reads as:-"Characterization of the trace, on the boundary of a domain, of an analytic function of several complex variables".
• テンプレート:Citation. An English translation of the title reads as:-"Hartogs phenomenon for certain linear partial differential operators".
• テンプレート:Citation. Available at the SEALS Portal. An English translation of the title reads as:-"On a theorem of Hartogs".
• テンプレート:Citation (see also テンプレート:Zbl, the cumulative review of several papers by E. Trost). Available at the SEALS Portal. An English translation of the title reads as:-"On a theorem of Hartogs in the theory of analytic functions of $n$ complex variables".
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• テンプレート:Citation. Available at the DigiZeitschriften.
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• テンプレート:Citation, available at Project Euclid.
• テンプレート:Citation. Available at the SEALS Portal. An English translation of the title reads as:-"On a proof by R. Fueter of a theorem of Hartogs".
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• テンプレート:Citation. An English translation of the title reads as:-"A fundamental property of the domain of holomorphy of an analytic function of one real variable and one complex variable".
• テンプレート:Citation. Available at the SEALS Portal. An English translation of the title reads as:-"About a theorem of Hartogs".

外部リンク

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