アトラス (多様体)

テンプレート:出典の明記 数学の特に微分位相幾何学におけるアトラス (テンプレート:Lang-en-short; 地図帳) あるいは座標近傍系テンプレート:Sfn（ざひょうきんぼうけい、テンプレート:Lang-en-short）は多様体を記述するために必要である。アトラスはチャート (テンプレート:Lang-en-short; 地図) あるいは座標近傍テンプレート:Sfn (co­ordinate neighbourhood) と呼ばれる元の族であり、各チャートは簡単に言えば多様体の各点の周りの適当な領域に座標を入れて考えられるようにするものである。例えば地表を多様体と見なせば、アトラスとその各チャートは日常的な意味で言う地図帳と各地図と考えられる。一般には、アトラスは多様体の厳密な定義の一部として含まれ、あるいは多様体と関連深いベクトル束などのファイバー束においても同様である。

定義

アトラスの定義にはチャートの概念が必要である

定義 (chart)

位相空間 テンプレート:Mvar のチャートは テンプレート:Mvar の開集合 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar 上で定義されたユークリッド空間の開集合への同相写像 テンプレート:Mvar の組 テンプレート:Math を言う。このとき、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 上の座標系テンプレート:Sfn（座標函数系、座標標構、座標写像などとも）テンプレート:Efnと呼び、テンプレート:Mvar の像空間における各成分テンプレート:Efnを局所座標函数あるいは テンプレート:Mvar 上の座標函数と呼ぶ。また、テンプレート:Mvar の各点 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Math となるようなチャート テンプレート:Math を考えるとき、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の座標近傍、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の座標と呼ぶ。

定義

位相空間 テンプレート:Mvar のアトラスとは、テンプレート:Mvar で添字付けられた テンプレート:Mvar のチャートの族 テンプレート:Math で $\bigcup _{\alpha \in A}{U}_{\alpha }=M$ となるものを言う。

テンプレート:Mvar のアトラスに属する任意のチャートが テンプレート:Mvar-次元ユークリッド空間 テンプレート:Math となっているとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar-次元（位相）多様体と呼ばれる。

座標の取り換え

テンプレート:Annotated image アトラスにおける二つのチャートを比べる方法として、それらの間の座標変換を与える遷移写像 (transition map; 推移写像) を考えることができる。この遷移を記述するには、一方の座標写像の逆写像に他方の座標写像を合成することを考えればよい。ただし、この合成をきちんと定義するには、両座標写像の定義域をそれぞれの写像の定義域の交わりに制限しなければならない。

より精確に述べれば、

定義 (transition map)

多様体 テンプレート:Mvar の一つのアトラスに属する二つのチャート テンプレート:Math が テンプレート:Math となるとき、座標変換あるいはチャート間の遷移とは テンプレート:Math は $${\tau }_{\alpha ,\beta }:={\phi }_{\beta }\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}$$ と定義される写像（ベクトル値函数）テンプレート:Math を言う。

テンプレート:Mvar がともに同相写像であるから、変換函数 テンプレート:Mvar もまた同相となることに注意。

更なる構造

多様体には単なる位相構造以外にも構造が入っていたほうがよいのが普通である。例えば、多様体上の写像の微分の概念が紛れ無く定義されるようにするならば、そのアトラスは任意の座標変換が可微分函数となるように構成されなければならない。そのような多様体は可微分多様体という。可微分多様体が与えられれば、その接ベクトルそして方向微分の概念が紛れ無く定まる。

任意の座標変換がテンプレート:Ill2となるとき、アトラスはテンプレート:Ill2、多様体は滑らかな多様体と呼ぶ。あるいは、座標変換が テンプレート:Mvar-回連続的微分可能とだけ仮定して テンプレート:Mvar-級アトラス、テンプレート:Mvar-級（可微分）多様体が定められる。

非常に一般に、任意の座標変換函数がユークリッド空間の同相写像からなるテンプレート:Ill2 テンプレート:Mathcal に属するならば、そのアトラスは テンプレート:Unicode-アトラスであるという。また、チャート間の遷移写像が局所自明化を保つならば、そのアトラスはファイバー束の構造を定める。

関連項目

• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation, Chapter 5 "Local coordinate description of fibre bundles".

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Nlab
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:ProofWiki