グロス＝コブリッツの公式

数学において、テンプレート:Harvs によって導入されたグロス＝コブリッツの公式（グロス＝コブリッツのこうしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、p進ガンマ関数の値の積を用いてあるガウス和を表現したものである。通常のガンマ関数に対するチョウラ＝セルバーグの公式と類似のものである。ハッセ＝ダベンポートの関係式を含み、テンプレート:仮リンクを一般化するものである。テンプレート:Harvtxt は、Dwork の結果を用いてグロス＝コブリッツの公式に対する別証明を与え、テンプレート:Harvtxt は初等的な証明を与えた。

内容

グロス＝コブリッツの公式とは、ガウス和 τ を p-進ガンマ関数 Γ_p によって表現した次の式のことを言う。

${\tau }_q(r)=-{\pi }^{s_p(r)}\prod _{0\le i<f}{\mathrm{\Gamma }}_p(r^{(i)}/(q-1)).$

但し記号は次のようなものとする。

• q は素数 p のべき p^f。
• r は 0 ≤ r < q − 1 を満たす整数。
• r⁽ⁱ⁾ は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-進展開の テンプレート:Mvar-回反復ドワークシフト(Dwork's shift)
• s_p(r) は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-進展開における各位の数の和。
• τ は次のガウス和。

${\tau }_q(r)=\sum _{a^{q-1}=1}{a}^{-r}{\zeta }_{\pi }^{\text{Tr}(a)}.$

ただしこの和は拡大 Q_p(テンプレート:Π) 内の 1 の冪根について取られる。

• Γ_p は p 進ガンマ関数。
• テンプレート:Π は テンプレート:Π^{p − 1} = −p を満たすもの。
• ζ_{テンプレート:Π} は テンプレート:Π² を法として 1+π と合同な、1 の p 乗根。

参考文献

• テンプレート:Citation
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