ハッセ＝ダベンポートの関係式

数学において、テンプレート:Harvs によって導入されたハッセ＝ダベンポートの関係式（ハッセ＝ダベンポートのかんけいしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、ガウス和に関する二つの関係式で、一つはハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式（Hasse-Davenport lifting relation）と呼ばれ、もう一つはハッセ＝ダベンポートの積の関係式（Hasse-Davenport product relation）と呼ばれる。ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は、数論における異なる体上のガウス和に関連するある等式である。ヴェイユ予想に動機付けられ、テンプレート:Harvtxt はこの式をある有限体上のフェルマー超曲面のゼータ関数を計算するために用いた。

ガウス和は有限体上のガンマ関数の類似物であり、ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は次のガウスの積公式の類似物である：

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{k})\mathrm{\Gamma }(z+\frac{2}{k})\cdots \mathrm{\Gamma }(z+\frac{k-1}{k})=(2\pi {)}^{\frac{k-1}{2}}{k}^{1/2-kz}\mathrm{\Gamma }(kz).$

実際、ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は、p-進ガンマ関数と テンプレート:Harvtxt のグロス＝コブリッツの公式に対する類似の乗法的公式から得られる。

ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式

F を q 個の元を持つある有限体とし、F_s を [F_s:F] = s であるような体とする。すなわち F 上のベクトル空間 F_s の次元は s である。

$\alpha$ を $F_s$ のある元とする。

$\chi$ を F から複素数への乗法的指標 (数学)とする。

$N_{F_s/F}(\alpha )$ を、$F_s$ から $F$ へのノルムで、次で定められるものとする。

$N_{F_s/F}(\alpha ):=\alpha \cdot {\alpha }^q\cdots {\alpha }^{q^{s-1}}.$

今 ${\chi }^{\prime }$ を $F_s$ 上の乗法的指標で、$\chi$ と、F_s から F へのノルムの合成で与えられるものとする。すなわち

${\chi }^{\prime }(\alpha ):=\chi (N_{F_s/F}(\alpha ))$

とする。

ψ をある非自明な F の加法的指標とし、${\psi }^{\prime }$ を $\psi$ と、F_s から F への跡の合成であるような $F_s$ 上の加法的指標とする。すなわち

${\psi }^{\prime }(\alpha ):=\psi (T{r}_{F_s/F}(\alpha ))$

とする。

今

$\tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)$

を F 上のガウス和とし、$\tau ({\chi }^{\prime },{\psi }^{\prime })$ を $F_s$ 上のガウス和とする。

このとき、ハッセ＝ダベンポートの持ち上げ関係式は次で与えられる。

$(-1{)}^s\cdot \tau (\chi ,\psi {)}^s=-\tau ({\chi }^{\prime },{\psi }^{\prime }).$

ハッセ＝ダベンポートの積の関係式

ハッセ＝ダベンポートの積の関係式は次で与えられる。

$\prod _{amodm}\tau (\chi {\rho }^a,\psi )=-{\chi }^{-m}(m)\tau ({\chi }^m,\psi )\prod _{amodm}\tau ({\rho }^a,\psi ).$

ただし ρ は q–1 を割る exact 位数が m の乗法的指標であり、χ を任意の乗法的指標、ψ はある非自明な加法的指標である。

参考文献

• テンプレート:Citation
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• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil ISBN 0-387-90330-5