ジーゲル・ウォルフィッツの定理

アーノルド・ウォルフィッツ

解析的整数論における、ジーゲル・ウォルフィッツの定理(英: Siegel–Walfisz theorem)は、カール・ジーゲルによる定理のテンプレート:仮リンク(primes in arithmetic progression)への応用として、テンプレート:仮リンク(Arnold Walfisz)により得られた。

定理の内容

$\psi (x;q,a)=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{n\le x}{n\equiv a(\mathrm{mod}q)}}\mathrm{\Lambda }(n)$

と定義する。ここに $\mathrm{\Lambda }$ はフォン・マンゴルト函数 で $\varphi$ オイラーのトーシェント函数とする。定理は、任意の実数 N に対し、N のみに依存する以下を満たす正の定数 $C_N$ が存在することを主張する。(a, q) = 1 かつ

$q\le (\log x{)}^N$

であるときは、必ず

$\psi (x;q,a)=\frac{x}{\phi (q)}+O(x\exp (-C_N(\log x{)}^{\frac{1}{2}}))$

となる。

注意

定数 $C_N$ は計算可能ではないため、ジーゲルの定理は有効でない。

定理より、次の形の算術級数の素数定理を導くことができる。(a, q) = 1 に対し、$\pi (x;q,a)$ により、mod q で a に合同な、x 以下の素数の個数を表すとすると、

$\pi (x;q,a)=\frac{\mathrm{L}\mathrm{i}(x)}{\phi (q)}+O(x\exp (-\frac{C_N}{2}(\log x{)}^{\frac{1}{2}})),$

となる。ここに N, a, q, C_N, φ は定理のもの、Li は補正対数積分である。