スティルチェス＝ウィガート多項式

数学においてスティルチェス＝ウィガート多項式（スティルチェス＝ウィガートたこうしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、トーマス・スティルチェスとテンプレート:仮リンクの名にちなむ、基本テンプレート:仮リンクにおける $q$ -超幾何直交多項式のある族のことを言う。その重み函数は、正の実直線 x > 0 上の

w (x) = \frac{k}{\sqrt{π}} x^{- 1 / 2} \exp (- k^{2} \log^{2} x)

で与えられる^[1]。

スティルチェス＝ウィガート多項式に対するテンプレート:仮リンクは不定である。すなわち、同様の直交多項式の族を与える多くの測度が存在する（クレインの条件を参照）。

Koekoek et al. (2010) の 14.27 節では、この多項式の持つ性質の詳細なリストが与えられている。

定義

S_{n} (x; q) = \frac{1}{(q; q)_{n}}_{1} ϕ_{1} (q^{- n}, 0; q, - q^{n + 1} x)

で与えられる^[2]。ここで q = e^{テンプレート:Frac} である。

この多項式に対するモーメント問題は不定であるため、それらが直交となるような [0,∞] 上の重み函数には異なる多くのものが存在する。そのような重み函数の二つの例として

\frac{1}{(- x, - q x^{- 1}; q)_{\infty}}

および

\frac{k}{\sqrt{π}} x^{- 1 / 2} \exp (- k^{2} \log^{2} x)

が挙げられる。

↑ 定数因数に至るまで、これは Szegő (1975) の 2.7 節の重み函数 w に対して w(q^-1/2x) で与えられる。Koornwinder et al. (2010) の 18.27 節も参照されたい。
↑ 定数因子に至るまで、Szegő (1975) の 2.7 節における p_n(x) に対しては S_n(x;q)=p_n(q^-1/2x) が成立する。