トラクトリックス

トラクトリックス (tractrix) 、牽引線（けんいんせん）、引弧線、犬曲線、追跡線とは、直交座標の方程式

\begin{matrix} x & = \pm (a \ln \frac{a + \sqrt{a^{2} - y^{2}}}{y} - \sqrt{a^{2} - y^{2}}) \\ = \pm (a {s e c h}^{- 1} \frac{y}{a} - \sqrt{a^{2} - y^{2}}) (a > 0) \end{matrix}

によって表される曲線である。

媒介変数による表示

媒介変数表示では

x = \pm a (\ln \tan \frac{θ}{2} + \cos θ), y = a \sin θ, θ \in [0, \frac{π}{2}] .

と表される。ここで、座標原点に犬の飼い主が、y軸上の点テンプレート:Math に長さテンプレート:Mvar のリードにつながれた犬が居たとするとき、飼い主がx軸上を移動した際に、リードの伸縮が全くないと仮定した場合に犬が移動する軌跡がトラクトリックスになる。テンプレート:Mvar は飼い主と犬を結ぶ線分とx軸との成す角に相当する。牽引線、犬曲線などと呼ばれるのはそのためである。

あるいは、 $ϑ = θ - \frac{π}{2}$ として

x = a ({gd}^{- 1} ϑ - \sin ϑ), y = a \cos ϑ

と表される。ただし、 ${gd}^{- 1} ϑ$ はグーデルマン関数の逆関数である。さらに、 $t = {gd}^{- 1} ϑ$ とおくことにより

x = a (t - \tanh t), y = a sech t

と表すこともできる。

特徴

常微分方程式 $\frac{d x}{d y} = \pm \frac{\sqrt{a^{2} - y^{2}}}{y}$ を満たす。
カテナリー $y = a \cosh \frac{x}{a}$ の伸開線に相当し、y軸に対して線対称であり、x軸を漸近線に持つ。尖点はテンプレート:Math。
区間 $0 \leq x_{1} \leq x \leq x_{2}$ における弧長は $a \ln \frac{y_{1}}{y_{2}}$ である。
トラクトリックス上の尖点以外の任意の点をP、Pにおける曲率中心^[1]をO、線分OPの延長とx軸との交点をQとするとき、OP・PQは一定となり、その値はテンプレート:Math に相当する^[2]。
トラクトリックスとその漸近線で囲まれる領域の面積は $\frac{π a^{2}}{2}$ （半径テンプレート:Mvar の円の面積の半分）である^[3]。
トラクトリックスをその漸近線の周りに回転させてできる回転体^[4]の表面積は $4 π a^{2}$ （半径テンプレート:Mvar の球の表面積）^[5]、体積は $\frac{2 π a^{3}}{3}$ （半径テンプレート:Mvar の球の体積の半分）^[6]である。

脚注

テンプレート:脚注ヘルプテンプレート:Reflist

参考文献

外部リンク

テンプレート:Commons

↑ Pを表示する媒介変数として、前節に登場したもののうちテンプレート:Mvar を採用するとき、曲率半径OPは $a | \cot θ |$ となる。これから、弧長の簡潔な導出として、 $\int_{θ_{2}}^{θ_{1}} a \cot θ d θ = a \ln \frac{\sin θ_{1}}{\sin θ_{2}} = a \ln \frac{y_{1}}{y_{2}}$ が得られる。
↑ 結果として、Pを犬と見立てたとき、Oのx座標はx軸上を移動する飼い主のx座標に一致することとなる。
↑ $\int_{- \infty}^{\infty} y d x$ を計算しても勿論導出可能であるが、テンプレート:仮リンクを使えば、長さテンプレート:Mvar の棒が半回転する際に掃く面積に相当することが示される。
↑ この回転体を構成する回転面のことを擬球面（トラクトロイド）と称する。
↑ 媒介変数テンプレート:Mvar の地点における線素片の弧長は $a \cot θ d θ$ となるから、 $\int_{- π / 2}^{π / 2} 2 π y \cdot a \cot θ d θ$ を計算することにより導出できる。
↑ $π \int_{- \infty}^{\infty} y^{2} d x$ を計算しても勿論導出可能であるが、次のように考えることもできる。トラクトリックスとその漸近線で囲まれる領域をテンプレート:Mvar とテンプレート:Math との間にある等辺テンプレート:Mvar、頂角 dテンプレート:Mvar の微小二等辺三角形面積素片に分解し、各頂点を座標原点に（回転を全く伴わない純粋平行移動で）集約し並べ直すと、半径テンプレート:Mvar の半円が漸近線上にその直径を含む形で構成される。元の領域の各微小二等辺三角形面積素片の漸近線からの重心距離は、当該半円に並べ直した各微小二等辺三角形面積素片の漸近線からの重心距離の半分に相当しているから、パップス＝ギュルダンの定理により、求める体積は当該半円を漸近線の周りに回転させることにより生ずる半径テンプレート:Mvar の球の体積の半分であると解することができる。

[1] Pを表示する媒介変数として、前節に登場したもののうちテンプレート:Mvar を採用するとき、曲率半径OPは $a | \cot θ |$ となる。これから、弧長の簡潔な導出として、 $\int_{θ_{2}}^{θ_{1}} a \cot θ d θ = a \ln \frac{\sin θ_{1}}{\sin θ_{2}} = a \ln \frac{y_{1}}{y_{2}}$ が得られる。

[2] 結果として、Pを犬と見立てたとき、Oのx座標はx軸上を移動する飼い主のx座標に一致することとなる。

[3] $\int_{- \infty}^{\infty} y d x$ を計算しても勿論導出可能であるが、テンプレート:仮リンクを使えば、長さテンプレート:Mvar の棒が半回転する際に掃く面積に相当することが示される。

[4] この回転体を構成する回転面のことを擬球面（トラクトロイド）と称する。

[5] 媒介変数テンプレート:Mvar の地点における線素片の弧長は $a \cot θ d θ$ となるから、 $\int_{- π / 2}^{π / 2} 2 π y \cdot a \cot θ d θ$ を計算することにより導出できる。

[6] $π \int_{- \infty}^{\infty} y^{2} d x$ を計算しても勿論導出可能であるが、次のように考えることもできる。トラクトリックスとその漸近線で囲まれる領域をテンプレート:Mvar とテンプレート:Math との間にある等辺テンプレート:Mvar、頂角 dテンプレート:Mvar の微小二等辺三角形面積素片に分解し、各頂点を座標原点に（回転を全く伴わない純粋平行移動で）集約し並べ直すと、半径テンプレート:Mvar の半円が漸近線上にその直径を含む形で構成される。元の領域の各微小二等辺三角形面積素片の漸近線からの重心距離は、当該半円に並べ直した各微小二等辺三角形面積素片の漸近線からの重心距離の半分に相当しているから、パップス＝ギュルダンの定理により、求める体積は当該半円を漸近線の周りに回転させることにより生ずる半径テンプレート:Mvar の球の体積の半分であると解することができる。

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

トラクトリックス

目次

媒介変数による表示

特徴

脚注

参考文献

関連文献

外部リンク

ナビゲーションメニュー

トラクトリックス

媒介変数による表示

特徴

脚注

参考文献

関連文献

外部リンク

ナビゲーション メニュー

検索

ナビゲーションメニュー