ハーディ＝リトルウッドの極大函数

数学において、局所可積分函数 テンプレート:Mathのハーディ＝リトルウッドの極大函数（ハーディ＝リトルウッドのきょくだいかんすう、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Mvar とは、各点 テンプレート:Math を中心とする球上で テンプレート:Mvar が取り得る最大の平均値 を与える関数である。すなわち、

$Mf(x)=\underset{r>0}{\sup }\frac{1}{|B(x,r)|}\underset{B(x,r)}{\int }|f(y)|dy$

として定義される。ここで テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を中心とする半径 テンプレート:Mvar の球を表し、テンプレート:Math は テンプレート:Math の d-次元ルベーグ測度を表す。テンプレート:Mvarに対してテンプレート:Mvarを対応させる作用素は、実解析および調和解析の分野で用いられるある重要な非線形作用素である。

この平均値は テンプレート:Math 変数 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar について連続であるため、テンプレート:Math についての上限である極大函数 テンプレート:Mvar は可測である。テンプレート:Mvar がほとんど至る所有限であるかは明らかではない。これはハーディ＝リトルウッドの極大不等式の系である。

ハーディ＝リトルウッドの極大不等式

G. H. Hardy と J. E. Littlewood の定理では、p > 1 に対して M は、L^p(R^d) からそれ自身へのテンプレート:仮リンクとして有界であることが示されている。すなわち、f ∈ L^p(R^d) であるなら、極大函数 Mf は弱 L¹-有界で、Mf ∈ L^p(R^d) である。定理の詳細を述べる前に、簡単のため、集合 {x | f(x) > t} を以下では {f > t} と表すことにする。今、次が成り立つ。

定理（弱いタイプの評価） d ≥ 1 と f ∈ L¹(R^d) に対し、ある定数 C_d > 0 が存在して、次の不等式が任意の λ > 0 について成り立つ：

$|\{Mf>\lambda \}|<\frac{C_d}{\lambda }\Vert f{\Vert }_{L^1({𝐑}^d)}.$

このハーディ＝リトルウッドの極大不等式を元に、マルチンケーヴィッチの補間定理の直接的な帰結として、次の「強いタイプ」の評価が得られる：

定理（強いタイプの評価） d ≥ 1, 1 < p ≤ ∞ および f ∈ L^p(R^d) に対し、ある定数 C_p,d > 0 が存在して次が成り立つ。

$\Vert Mf{\Vert }_{L^p({𝐑}^d)}\le C_{p,d}\Vert f{\Vert }_{L^p({𝐑}^d)}.$

この強いタイプの評価において最良の C_p,d は知られていない。しかし、テンプレート:Ill2 は回転のカルデロン＝ジグムント法を利用して、次を証明した。

定理（次元独立性） 1 < p ≤ ∞ に対し、d に独立して C_p,d = C_p を取ることが出来る。

参考文献

• John B. Garnett, Bounded Analytic Functions. Springer-Verlag, 2006
• Antonios D. Melas, The best constant for the centered Hardy–Littlewood maximal inequality, Annals of Mathematics, 157 (2003), 647–688
• Rami Shakarchi & Elias M. Stein, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis. Princeton University Press, 2005
• Elias M. Stein, Maximal functions: spherical means, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 73 (1976), 2174–2175
• Elias M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press, 1971
• Gerald Teschl, Topics in Real and Functional Analysis (lecture notes)