バリニオンの定理

バリニオンの定理（Varignon's theorem）とは、平面上のある一点に対して働く2つ以上の力のモーメントの総和と、その合力の力のモーメントが等しいとする力学の定理^[1]。

フランスの数学者ピエール・ヴァリニョンが著書『Projet d'une nouvelle mechanique』で提唱した（Varignonは、日本の学界ではヴァリニョンではなくバリニオンと呼ばれることが多い）。

証明

点 $𝐎$ に働く力 $𝐟_{1}, 𝐟_{2}, . . ., 𝐟_{N}$ の総和（合力）を $𝐅$ とする。つまり、

$𝐅 = \sum_{i = 1}^{N} 𝐟_{i}$

である。また、点 $𝐎_{1}$ まわりの、点 $𝐎$ に働く力 $𝐟_{i}$ によるの力のモーメント（トルク） $T_{O_{1}}^{𝐟_{i}}$ は、

$T_{O_{1}}^{𝐟_{i}} = (𝐎 - 𝐎_{1}) \times 𝐟_{i}$

と表せる。このとき、

$\sum_{i = 1}^{N} T_{O_{1}}^{𝐟_{i}} = (𝐎 - 𝐎_{1}) \times (\sum_{i = 1}^{N} 𝐟_{i}) = (𝐎 - 𝐎_{1}) \times 𝐅 = T_{O_{1}}^{𝐅}$

が成立する。