モノイド閉圏
数学の特に圏論におけるモノイド閉圏（モノイドへいけん、テンプレート:Lang-en-short; 閉モノイド圏）とは、モノイド積（テンソル積）およびその右随伴として定まる「冪」（通常の冪対象とは異なる）を対象として持つ圏である。言い換えれば、冪対象の類似物を持ったモノイド圏である。モノイド積が通常の積であるときは（「冪」が本物の冪対象となり、）デカルト閉圏と呼ばれる。
古典的な例は、集合の圏 テンプレート:Math で、モノイド積は集合の直積、「冪」は与えられた対象間の写像全体の集合（配置集合）によって与えられる。他の例は、有限次元ベクトル空間を対象、線型写像を射とする圏 テンプレート:Math で、このときモノイド積は通常のテンソル積、「冪」はベクトル空間の間の線型写像全体の成すベクトル空間と取ればよい。
なお、この「冪」は「内部Hom函手」とも呼ばれる。対称モノイド閉圏のテンプレート:仮リンクはテンプレート:仮リンクである。
定義
閉モノイド圏とは、モノイド圏 テンプレート:Mvar であって、各対象 テンプレート:Mvar について テンプレート:Mvar のテンソル右乗によって定まる函手 テンプレート:Math が右随伴 テンプレート:Math を持つものを言う。これはつまり、カリー化と呼ばれる射集合の間の全単射
が テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar に関して自然であることを意味する。記法を変えて、以上のことを函手 テンプレート:Math が右随伴 テンプレート:Math を持つとも書ける（一般的な記法）。
同じことだが、閉モノイド圏 テンプレート:Mvar は、任意の対象 テンプレート:Mvar に対して
- 対象 テンプレート:Math,
- 射 テンプレート:Math,
で以下の性質を満たすものが定まる圏である。
- 各射 テンプレート:Math に対して射 テンプレート:Math が一意的に存在して、テンプレート:Math が成り立つ。
この構成は函手 テンプレート:Math を定めることが示せる。この函手を内部 Hom 函手と呼び、対象 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の内部 Hom と呼ぶ。内部 Hom を表すのにさまざまな一般的記法がある。特に、テンプレート:Mvar 上のテンソル積がデカルト積であるときには、通常の記法 テンプレート:Math が用いられ、冪対象（指数対象）と呼ばれる。
両側閉圏と対称圏
厳密に言えば、前節で定義したのは右閉モノイド圏 (right closed monoidal category) である（任意対象のテンソル右乗が右随伴を持つことしか要求していない）。同様に左閉 (left closed) であることを、任意の対象 テンプレート:Mvar によるテンソル左乗函手 テンプレート:Math が右随伴 テンプレート:Math を持つことと定義する。
- 定義
- 両側閉モノイド圏（双閉モノイド圏）とは、左閉かつ右閉なモノイド圏を言う。
テンプレート:仮リンクが左閉であるための必要十分条件は、それが右閉であることである。したがって、「対称閉モノイド圏」というときにはそれが左閉であるか右閉であるかに言及することを要しない。実は、これはより一般のテンプレート:仮リンク に対して正しい。実際、組み紐関係子はモノイド積 テンプレート:Math を テンプレート:Math と自然同型にするから、テンソル右乗と左乗を区別することは意味を成さない。つまりこの自然な方法で任意の右モノイド閉圏を左閉に、あるいはまたその逆に、することができる。
上ではモノイド閉圏を特別な性質を満たすモノイド圏として記述した。それと同値な定義として、特別な性質を満たすテンプレート:仮リンクとして定めることもできる。つまり、内部 Hom 函手に対して、その左随伴となるモノイド積の存在を定義として課すのである。それが故に、閉モノイド圏はモノイド閉圏 (monoidal closed categories) とも呼ばれる。
例
- 集合と写像の圏 テンプレート:Math にデカルト積をモノイド積とするモノイド圏はモノイド閉圏である（さらにデカルト閉圏でもある）。ここに内部 Hom テンプレート:Math は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像全体の成す集合 テンプレート:Mvar である。計算機科学において、特に函数型プログラミング言語において、このモノイド積と内部 Hom の間の全単射はカリー化と呼ばれる。実際に、Haskell や テンプレート:仮リンク のようないくつかの言語では函数の矢印記法を明示的に用いている。
- より一般に、任意のデカルト閉圏は（そのモノイド構造をデカルト積構造とするとき）対称モノイド閉圏である。この場合、内部 Hom テンプレート:Math は、冪対象 テンプレート:Mvar として書くのが普通。
- 有限次元線型空間と線型写像の圏 テンプレート:Math に通常のテンソル積を入れたモノイド圏はモノイド閉圏である。ここで内部 Hom テンプレート:Math は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への線型写像全体の成す線型空間である。この例はさらにテンプレート:仮リンクでもある。
- より一般に、任意のコンパクト閉圏は、その内部 Hom テンプレート:Math を テンプレート:Math で与えて、対称モノイド閉圏になる。