リー環のコホモロジー

数学において、リー環のコホモロジー（テンプレート:Lang-en-short）とは、リー環に対するコホモロジー論である。それは テンプレート:Harvs によって、コンパクトリー群の位相空間としてのコホモロジーの代数的構成を与えるために、定義された。上の論文では、テンプレート:仮リンクと呼ばれる鎖複体がリー環上の加群に対して定義され、そのコホモロジーが普通の意味で取られる。

動機付け

テンプレート:Mvar がコンパクトテンプレート:要曖昧さ回避単連結リー群のとき、テンプレート:Mvar はそのリー環によって決定され、したがってそのコホモロジーはリー環から計算できるはずである。これは次のようにしてできる。そのコホモロジーは テンプレート:Mvar 上の微分形式の複体のド・ラームコホモロジーである。これはテンプレート:仮リンクの複体に置き換えることができ、それは今度は適切な微分でリー環の外積代数と同一視できる。外積代数のこの微分の構成は任意のリー環に対して意味をなし、したがってすべてのリー環に対してリー環のコホモロジーを定義するのに使われる。より一般に加群に係数を持つリー環のコホモロジーを定義するために類似の構成を用いる。

定義

$𝔤$ を可換環 テンプレート:Mvar 上のリー環、$U𝔤$ をその普遍包絡環とし、テンプレート:Mvar を $𝔤$ の表現とする（同じことだが $U𝔤$-加群とする）。テンプレート:Mvar を $𝔤$ の自明表現と考え、コホモロジー群

${\mathrm{H}}^n(𝔤;M):={\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}}_{U𝔤}^n(R,M)$

を定義する（テンプレート:Math の定義は Ext関手を参照）。同じことだが、これらは左完全不変部分加群関手

$M\mapsto M^{𝔤}:=\{m\in M\mid xm=0\text{ for all }x\in 𝔤\}$

の右導来関手である。

同様に、リー環のホモロジーを

${\mathrm{H}}_n(𝔤;M):={\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}_n^{U𝔤}(R,M)$

と定義でき（テンプレート:Math の定義は Tor関手を参照）、これは右完全テンプレート:仮リンク関手

$M\mapsto M_{𝔤}:=M/𝔤M.$

の左導来関手と同値である。

リー環のコホモロジーについての重要な基本的な結果の中にはテンプレート:仮リンク、テンプレート:仮リンク、テンプレート:仮リンク定理がある。

シュバレー・アイレンバーグ複体

体 テンプレート:Mvar 上のLie環 $𝔤$ の左 $𝔤$-加群 テンプレート:Mvar に値を持つリー環コホモロジーはシュバレー・アイレンバーグ複体 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_k({\mathrm{\Lambda }}^{\ast }𝔤,M)$ を用いて計算できる。この複体の テンプレート:Mvar-コチェインは テンプレート:Mvar に値を持つ テンプレート:Mvar 変数の交代 テンプレート:Mvar-多重線型関数 $f:{\mathrm{\Lambda }}^n𝔤\to M$ である。テンプレート:Mvar コチェインのコバウンダリは次で与えられる テンプレート:Math-コチェイン テンプレート:Math である：

$(\delta f)(x_1,\dots ,x_{n+1})=\sum _i(-1{)}^{i+1}{x}_{i}f(x_1,\dots ,{\hat{x}}_i,\dots ,x_{n+1})+\sum _{i<j}(-1{)}^{i+j}f([x_i,x_j],x_1,\dots ,{\hat{x}}_i,\dots ,{\hat{x}}_j,\dots ,x_{n+1}),$

ただしキャレットはその引数を除くことを意味する。

小さい次元のコホモロジー

0次コホモロジー群は（定義により）加群に作用するリー環の不変加群である：

$H^0(𝔤;M)=M^{𝔤}=\{m\in M\mid xm=0\text{ for all }x\in 𝔤\}.$

1次コホモロジー群は内部微分の空間 テンプレート:Math を法とした微分の空間 テンプレート:Math である：

$H^1(𝔤;M)=\mathrm{D}\mathrm{e}\mathrm{r}(𝔤,M)/\mathrm{I}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}(𝔤,M)$

ただし微分はリー環から テンプレート:Mvar への写像 テンプレート:Mvar で

$d[x,y]=xdy-ydx$

なるもので、それが内部微分とはそれがある テンプレート:Math で

$dx=xa$

で与えられることをいう。

2次コホモロジー群

$H^2(𝔤;M)$

はリー環の加群 テンプレート:Mvar によるリー環の拡大

$0\to M\to 𝔥\to 𝔤\to 0$

の同値類の空間である。

より高次のコホモロジー群に対しては同様の易しい解釈は無いようである。

関連項目

• テンプレート:仮リンク（理論物理学）

参考文献

• テンプレート:Citation
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