ワイエルシュトラスの予備定理

数学のテンプレート:読み仮名 ruby不使用とは、多変数の複素解析関数を特定の点 テンプレート:Mvar で調べるときに使われる多変数複素関数論の定理である。定理の主張は、任意の多変数の複素解析関数は、テンプレート:Mvar でゼロにならない関数の乗算による違いを除いて、1つ選んだ変数 テンプレート:Mvar の多項式で書けて、その多項式はモニックかつ低次数項の係数は テンプレート:Mvar でゼロになる残りの変数についての解析関数として取れる、というものである。

この定理はワイエルシュトラスの1879年の出版物の中で公表された（講義の中では1860年から取り入れていた）。

この定理には数々の変形版がある。共通するアイデアは、考えている環 テンプレート:Mvar の元を可逆元 テンプレート:Mvar とワイエルシュトラス多項式と呼ばれる特別な種類の多項式 テンプレート:Mvar の積 テンプレート:Math に分解するという点である。ワイエルシュトラスの準備定理と呼ばれることもある。

カール・ジーゲルは、この定理にカール・ワイエルシュトラスの名前がついているのは19世紀後半の Traités d'analyse で正当な理由の説明もなくそうされたからであるとして、ワイエルシュトラスの名を冠することに異議を唱えたテンプレート:要出典。

複素解析的関数

1変数の解析関数 テンプレート:Math は原点のまわりで局所的に テンプレート:Math とかけた。ここで テンプレート:Math は原点で0にならない解析関数で、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の原点における零点の重複度である。これを一般化したものがワイエルシュトラスの予備定理である。テンプレート:Math を複素変数とする。最初の変数は特に テンプレート:Mvar とかいている。解析関数 テンプレート:Math で テンプレート:Math となるものを係数とする多項式

テンプレート:Math

をワイエルシュトラス多項式と呼ぶ。

解析関数 テンプレート:Mvar が

テンプレート:Math

であり

テンプレート:Math

を冪級数と見たとき テンプレート:Mvar だけが現れる項があったとする。このとき、原点で0ではない解析関数 テンプレート:Mvar とワイエルシュトラス多項式 テンプレート:Mvar が存在して、テンプレート:Math の周りで局所的に

テンプレート:Math

とかける、という主張がワイエルシュトラスの予備定理である。

これからすぐに、 原点 テンプレート:Math の周りの テンプレート:Mvar の零点は、任意の小さな テンプレート:Math とそれに対する方程式 テンプレート:Math の解の組であることがわかる。解の個数は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar についての次数に等しい。テンプレート:Math を連続的に動かすと、対応する テンプレート:Mvar は枝状に動く。特に テンプレート:Mvar は孤立零点を持ち得ない。

除法定理

関連する定理に、ワイエルシュトラスの除法定理（Weierstrass division theorem）というものがある（割算定理ともいう）。これは、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を解析関数で テンプレート:Mvar が次数 テンプレート:Mvar のワイエルシュトラス多項式だったとすると、ある一意的に定まる テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が存在して

テンプレート:Math

と書けるというものである。ここで テンプレート:Mvar は 次数が テンプレート:Mvar 未満の多項式である。予備定理は除法定理の系として証明されることが多い。逆に、予備定理から除法定理を証明することもできるので、2つの定理は実際には同値である。

応用

ワイエルシュトラスの予備定理を使って テンプレート:Mvar 変数の解析関数の芽の環はネーター環であることを証明できる。 このことは テンプレート:訳語疑問点範囲（Rückert basis theorem）とも呼ばれている。

次の定理もワイエルシュトラスの予備定理を使って証明される。

• 岡の連接定理
• テンプレート:仮リンク。形式的冪級数環に対するワイエルシュトラスの割算定理が証明に用いられる。

滑らかな関数

滑らかな関数についても同様の予備定理がある。これは深い結果で、テンプレート:仮リンクによって証明されたのでテンプレート:仮リンクと呼ばれている。これに対応する除法定理もあり、こちらにはテンプレート:仮リンクの名前が冠されている。

完備局所環係数の形式的冪級数

完備局所環 テンプレート:Math の元を係数とする形式的冪級数環についても同様の定理があり、これもワイエルシュトラスの予備定理と呼ばれている。$f=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{t}^n\in A[[t]]$ を冪級数で少なくとも1つの係数 $a_n$ は テンプレート:Mvar の極大イデアル $𝔪$ に含まれないものとする。このとき、一意的に定まる $A[[t]]$ の可逆元 テンプレート:Mvar と多項式 $F=t^s+b_{s-1}{t}^{s-1}+\dots +b_0$ で係数が $b_i\in 𝔪$ となるものが存在して

$f=uF$

が成り立つ。この テンプレート:Mvar のように、モニックで低次の項の係数が極大イデアルに含まれる多項式は特殊多項式（distinguished polynomial）と呼ばれる。$A[[t]]$ も完備局所環であるから、繰り返しこの分解を使うことによって、多変数の形式的冪級数についても同様の分解が可能であることがわかる。

例としてこの定理を [[P進数|テンプレート:Mvar 進整数環]]に適用してみる。すると、テンプレート:Mvar 進数を係数とする任意の冪級数 テンプレート:Math は、冪級数環における可逆元 テンプレート:Math と特殊多項式 テンプレート:Math と1つ選んだ素元 テンプレート:Mvar を使って テンプレート:Math と一意的に分解できることがわかる。

岩澤理論では、ワイエルシュトラスの予備定理と除法定理を環 ${𝐙}_p[[t]]$（この環はテンプレート:仮リンクとも呼ばれている）に適用することにより、 この環上の有限生成加群の具体的な記述を得ている。

テイト代数

完備な非アルキメデス局所体 テンプレート:Mvar 上のテンプレート:仮リンク

$T_n(k)=\{\sum _{{\nu }_1,\dots ,{\nu }_n\ge 0}{a}_{{\nu }_1,\dots ,{\nu }_n}{X}_1^{{\nu }_1}\cdots X_n^{{\nu }_n}:|a_{{\nu }_1,\dots ,{\nu }_n}|\to 0\text{ for }{\nu }_1+\cdots +{\nu }_n\to \mathrm{\infty }\}$

についてもワイエルシュトラスの予備定理がある。この環はテンプレート:仮リンクの基本的な構成要素である。環 $T_n(k)$ にワイエルシュトラスの予備定理を適用することにより、例えばこの環がネーターであることがわかる。

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation, reprinted in テンプレート:Citation
• テンプレート:Springer
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation reprinted by Johnson, New York, 1967.