岩澤理論

数論における岩澤理論（いわさわりろん、テンプレート:Lang-en-short）は、岩澤健吉が円分体の理論の一部として提唱し、バリー・メイザーやラルフ・グリーンバーグ、クリストファー・スキナーらによって洗練・確立された、（無限次元拡大の）ガロア群のイデアル類群における表現論である。

テンプレート:Math 拡大

テンプレート:Cquote テンプレート:Quotebox

F = F_{0} \subset F_{1} \subset \dots \subset F_{n} \subset \dots \subset F_{\infty} = \cup_{n} F_{n}

を構成する。代数体テンプレート:Mvar にテンプレート:Math 拡大を与えることと、このようなテンプレート:Math の拡大列を与えることは同値であるテンプレート:Sfn。実際、このような拡大列が与えられれば、テンプレート:Math のガロア群は加法群テンプレート:Math と同型であり、テンプレート:Math のガロア群（無限次代数拡大のガロア群なので射有限群）テンプレート:Math はこれらが自然な射影によって成す逆系の逆極限（Z の射有限完備化）、つまりテンプレート:Math である。これはまた、ポントリャーギン双対を考えれば、任意のテンプレート:Mvar の冪に対する 1 の冪根全体が成す円周群の離散部分群の双対として得られるコンパクト群がテンプレート:Math であるとも述べられる。

テンプレート:Math 拡大の基本的な例は円分テンプレート:Math 拡大（cyclotomic テンプレート:Math-extension）である。自然数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math で[[1の冪根|1の原始テンプレート:Mvar 乗根]]を表すものとする。例えば複素数体の中で考え、テンプレート:Math とする。奇素数テンプレート:Mvar に対して、有理数体に1の原始テンプレート:Math 乗根をすべて添加した体、つまりテンプレート:Math の合成体テンプレート:Math はテンプレート:Math 上のテンプレート:Math 拡大であるテンプレート:Sfn。また、この合成体を有理数体テンプレート:Math 上の拡大体とみると、これはガロア拡大で、そのガロア群テンプレート:Math はテンプレート:Math と同型であるので、これの部分体でテンプレート:Math 上のテンプレート:Math 拡大であるものが存在するテンプレート:Sfn。これをテンプレート:Math と書き、有理数体の円分テンプレート:Math 拡大という。任意の有限次代数体テンプレート:Mvar に対して合成体テンプレート:Math はテンプレート:Math 拡大になる。これをテンプレート:Mvar の円分テンプレート:Math 拡大というテンプレート:Sfn。円分テンプレート:Math 拡大の存在から、任意の代数体に対して少なくとも1つはテンプレート:Math 拡大が存在することがわかる。

代数体テンプレート:Mvar のテンプレート:Math 拡大は一般に無限に存在しうる。テンプレート:Mvar のテンプレート:Math 拡大すべての合成をテンプレート:Math とすると

G a l (\tilde{F} / F) ≅ ℤ_{p}^{d}

が成り立つことが知られているテンプレート:Sfn。ここでテンプレート:Mvar はテンプレート:Math を満たすある整数、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の複素素点の個数である。このことから、テンプレート:Mvar が総実体でなければ無限に多くのテンプレート:Math 拡大が存在することがわかるテンプレート:Sfn。ここに出てきた定数テンプレート:Mvar が、実はテンプレート:Math であろうというのがテンプレート:仮リンクであるテンプレート:Sfn。レオポルト予想は、有理数体のアーベル拡大体や虚二次体のアーベル拡大体については正しいことが知られているテンプレート:Sfn。

円分テンプレート:Math 拡大ではないテンプレート:Math 拡大の例としては、虚二次体の反円分 テンプレート:Math 拡大（anti-cyclotomic テンプレート:Math-extension）というものがあげられるテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar を5以上の素数テンプレート:Sfn、テンプレート:Mvar を虚二次体とする。テンプレート:Mvar のテンプレート:Math は1でテンプレート:Math は2であるから、この場合はレオポルト予想が自明に成立する。したがってテンプレート:Mvar にはガロア群がテンプレート:Math と同型になる唯一の拡大体テンプレート:Math が存在する。テンプレート:Math には複素共役が作用しており、複素共役が±1倍で作用する部分群をテンプレート:Math とすると、テンプレート:Math はテンプレート:Math の直積に分解できる。テンプレート:Math の固定体テンプレート:Math は円分的ではないテンプレート:Math 拡大になっている。これを反円分テンプレート:Math 拡大という。

イデアル類群と岩澤類数公式

テンプレート:Mvar を素数、テンプレート:Math を有限次代数体テンプレート:Mvar のテンプレート:Math 拡大とする。第テンプレート:Mvar 層テンプレート:Math のイデアル類群テンプレート:Math の[[シローの定理|シローテンプレート:Mvar 部分群]]（テンプレート:Mvar 部分）テンプレート:Efnをテンプレート:Math とする。ここでの動機というのは、テンプレート:Math のとき、そのイデアル類群のテンプレート:Mvar 部分こそがフェルマーの最終定理の直接証明における主要な障害となっている、ということがクンマーによって既に特定されていたということによるものである。テンプレート:Math は有限 [[p群|テンプレート:Mvar 群]] なのでその位数テンプレート:Math はある整数テンプレート:Math を用いてテンプレート:Math と書ける。岩澤は、ある3つの整数テンプレート:Math（最初の2つは非負整数）が存在して、テンプレート:Mvar が十分大きいとき

e_{n} = μ p^{n} + λ n + ν

が成り立つことを示したテンプレート:Sfn。これを岩澤類数公式（Iwasawa class number formula）といい、この公式に現れる3つの数を岩澤不変量（Iwasawa invariant）という。3つのうちどれか1つを指し示したいときは、例えば岩澤テンプレート:Math 不変量などというテンプレート:Sfn。

証明と岩澤代数

次の仮定のもとで証明の概略を見るテンプレート:Sfn。

(*) 素数テンプレート:Mvar の上にあるテンプレート:Mvar の素イデアルは唯一つで、さらにその素イデアルはテンプレート:Math で完全分岐する

証明は、まずイデアル類群の極限をとることからはじまる。2つの正整数テンプレート:Math があったとき、代数体の有限次拡大テンプレート:Math のノルム写像からイデアル類群の準同型テンプレート:Math ができるテンプレート:Sfn。これによる逆極限テンプレート:Math をテンプレート:Math と書き、テンプレート:Math の岩澤加群というテンプレート:Sfn。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。

岩澤加群テンプレート:Math がわかればテンプレート:Math もわかる。実際、テンプレート:Math の元テンプレート:Math をテンプレート:Math の乗法単位元1に対応する元（位相的生成元といっても同じこと）とするとテンプレート:Math が成り立つことがわかるテンプレート:Sfn テンプレート:Efn。

岩澤加群テンプレート:Math の構造は、これを完備群環上の加群とみることによって調べられる。テンプレート:Math は有限テンプレート:Mvar 群なので自然にテンプレート:Math の元の乗算が定義でき、またガロア群テンプレート:Math が作用しているので、その極限のテンプレート:Mvar には完備群環テンプレート:Math の作用が定義できるテンプレート:Sfn。この環テンプレート:Math は、実はテンプレート:Math 係数の形式的べき級数環テンプレート:Math とテンプレート:Math によって同型であることが示される（位相的生成元の取り方に依存するので、標準的ではない）テンプレート:Sfn。テンプレート:Math やテンプレート:Math はテンプレート:仮リンクと呼ばれているテンプレート:Sfn。岩澤代数は岩澤理論において中心的な役割を演ずる。例えば、岩澤主予想と呼ばれる予想はテンプレート:Math のある2つのイデアルが等しいという予想である。

岩澤加群テンプレート:Math は岩澤代数テンプレート:Math 上の加群であることがわかった。さらに有限生成であることが示されるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math は2次元の正則局所環とよばれる（その上の加群のそれほど粗くない分類が非常に容易であるという意味で）素性の良い環であるので、その有限生成加群には構造定理があるテンプレート:Sfn。これを使うことにより、テンプレート:Mvar は次の形の加群

Λ^{r} \oplus \prod_{i} Λ / (p^{m_{i}}) \oplus \prod_{j} Λ / (f_{j} (T)^{n_{j}})

と擬同型（pseudo-isomorphism）であること、つまり有限群による違いを除いてこれと同型であることが示される。テンプレート:Mvar はイデアル類群の有限性から0であるテンプレート:Sfn。

このようにして得られた岩澤加群テンプレート:Mvar の表示とテンプレート:Math を使うことによりテンプレート:Math の個数をテンプレート:Math やテンプレート:Math で表すことができる。そしてテンプレート:Math とテンプレート:Math を

\begin{matrix} μ & = & \sum_{i} m_{i} \\ λ & = & \sum_{j} n_{j} d e g f_{j} \end{matrix}

で定義すると岩澤類数公式が成り立つことがわかるテンプレート:Sfn。以上が証明の概略である。

なお、すべてのテンプレート:Math とテンプレート:Math を乗じて得られる多項式

{c h a r}_{Λ} (X) : = \prod_{i} p^{m_{i}} \prod_{j} f_{j} (T)^{n_{j}}

を岩澤加群テンプレート:Mvar の特性多項式（characteristic polynomial）といい、これによって生成されるテンプレート:Math のイデアルを特性イデアル（characteristic ideal）というテンプレート:Sfn。テンプレート:Math で特性イデアルの方を表すこともある。特性多項式は任意の有限生成 torsion テンプレート:Math 加群テンプレート:Mvar に対して定義され、同様にテンプレート:Math という記号で書かれる。岩澤不変量のテンプレート:Math は特性多項式テンプレート:Math の次数であり、テンプレート:Math は特性多項式を割り切る最大テンプレート:Mvar べきの指数である。岩澤主予想はテンプレート:Math のある2つのイデアルが等しいという予想であるが、そのイデアルのうちの一つが、簡単にいうとこの特性イデアルである。

固有空間への分解

代数体テンプレート:Mvar に複素共役やテンプレート:Math が作用している場合には、その作用でイデアル類群を固有空間（eigenspace）テンプレート:Sfnに分解することができ、分解したものたちに対して同様の公式が得られる。

まず複素共役の場合を見るテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar をCM体、テンプレート:Mvar を奇素数、テンプレート:Math を円分テンプレート:Math 拡大とする。このとき、テンプレート:Math のイデアル類群のシローテンプレート:Mvar 部分群テンプレート:Math には自然に複素共役が作用し、複素共役が±1倍で作用する部分空間テンプレート:Math の直和テンプレート:Math に分解できる。テンプレート:Math をプラス部分（+-part）テンプレート:Sfn、テンプレート:Math をマイナス部分（−-part）という。それぞれの部分空間に対して岩澤類数公式が成り立ち、対応するテンプレート:Math とテンプレート:Math をそれぞれテンプレート:Math とテンプレート:Math とすると、テンプレート:Math のテンプレート:Math とテンプレート:Math はテンプレート:Math, テンプレート:Math と分解できる。同様の方法で岩澤加群テンプレート:Math をテンプレート:Math に分解したとき、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の最大実部分体テンプレート:Math の円分テンプレート:Math 拡大の岩澤加群と同型になるので、プラス部分は実部分の寄与、マイナス部分は全体と実部分の差と考えられる。マイナス部分のテンプレート:Math については、木田の公式と呼ばれるリーマン・フルヴィッツの公式の類似が成り立つことが知られているテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

典型的なCM体は奇素数テンプレート:Mvar についてのテンプレート:Mvar 分体テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。これの最大実部分体の類数はテンプレート:Mvar で割れないという予想をテンプレート:仮リンクというテンプレート:Sfn。もしこれが正しければ、テンプレート:Math の最大実部分体の類数もテンプレート:Mvar で割れないのでテンプレート:Math は0ということになるテンプレート:Sfn。

次に、テンプレート:Math でイデアル類群が分解される様子を見るため、典型的な例としてテンプレート:Math でテンプレート:Math の場合を考える（テンプレート:Mvar は奇素数とする）テンプレート:Sfn。テンプレート:Math と置き、テンプレート:Math をテンプレート:Math の任意の元テンプレート:Math に対してテンプレート:Math が成り立つ唯一の準同型とする。テンプレート:Math はテンプレート:Math のイデアル類群のテンプレート:Mvar 成分テンプレート:Math に自然に作用しテンプレート:Math と分解できる。ここでテンプレート:Math はテンプレート:Math が成り立つテンプレート:Math の元たちからなる部分群である。これを テンプレート:Math 成分（テンプレート:Math-part）という。テンプレート:Math 成分に対しても岩澤類数公式が成り立ち、これらの成分に対する岩澤不変量をテンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math とするとテンプレート:Math の岩澤不変量はテンプレート:Math などと分解できる。偶数のテンプレート:Mvar に対するテンプレート:Math 成分はテンプレート:Math に含まれるので、ヴァンディバー予想が正しければこの成分は0である。部分的な結果として、栗原将人によってテンプレート:Math は0であることが証明されているテンプレート:Sfn。岩澤主予想は、奇数のテンプレート:Mvar に対するテンプレート:Math 成分に関する予想である。なお、このような分解はもっと一般の状況でも可能であるが、テンプレート:Math の指標の値が必ずしもテンプレート:Math に入らないので、係数拡大が必要となるテンプレート:Sfn。

岩澤不変量

テンプレート:Mvar はイデアル類群の元の位数の増加を示すものであり、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar ランクの増加を示すものであるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

岩澤不変量にはまだ分からないことが多いテンプレート:Sfn。次のような予想が立てられている。

岩澤テンプレート:Math 予想 円分テンプレート:Math 拡大テンプレート:Math に対してはテンプレート:Math であろうテンプレート:Sfn。

この予想は一般には未解決であるが、テンプレート:Mvar がアーベル体テンプレート:Efnの場合は正しいことが証明されている（テンプレート:仮リンク）テンプレート:Sfn。

テンプレート:仮リンク 総実代数体テンプレート:Mvar の円分テンプレート:Math 拡大テンプレート:Math に対してはテンプレート:Math であろうテンプレート:Sfn。

知られていることとしては次のようなことがあるテンプレート:Sfn。

代数体テンプレート:Mvar の類数がテンプレート:Mvar で割り切れず、テンプレート:Mvar の上にあるテンプレート:Mvar の素イデアルが一つしかないならば、任意のテンプレート:Math 拡大テンプレート:Math に対してテンプレート:Math である。

素数テンプレート:Mvar がテンプレート:Math で完全分解し、テンプレート:Math 拡大テンプレート:Math においてテンプレート:Mvar の上にあるテンプレート:Mvar の素点がすべて分岐するならばテンプレート:Math である。ここでテンプレート:Math はテンプレート:Mvar の複素素点の個数。

特性多項式の具体例

テンプレート:Mvar がアーベル体であれば、その円分テンプレート:Math 拡大の岩澤加群のマイナス部分の特性多項式はスティッケルバーガー元を用いて具体的に構成できるテンプレート:Sfn。さらにテンプレート:Mvar が虚二次体であればプラス部分は自明なのでテンプレート:Sfn、マイナス部分の特性多項式が全体の特性多項式である。例えば、テンプレート:Math でテンプレート:Math の場合は

テンプレート:Math

であるテンプレート:Sfn。特性多項式はテンプレート:Mvar 進数係数の多項式なので、テンプレート:Math までの近似で表示している。

岩澤主予想

テンプレート:Main 草創期の1950年代から理論の構築は絶えず続けられ、この加群の理論と久保田やレオポルド (Leopoldt) が1960年代に考案した [[p-進L-函数|テンプレート:Mvar 進テンプレート:Mvar 関数]]の理論の間の基本的考察が提示された。テンプレート:Mvar 進テンプレート:Mvar 関数は、ベルヌーイ数から始めて補間法を用いて定義される、ディリクレのテンプレート:Mvar 関数のテンプレート:Mvar 進の類似物である。最終的に、クンマーによる正則素数に関する結果から世紀を隔てて、フェルマーの最終定理の前進する見通しが立ったことが明らかとなった。

岩澤主予想（テンプレート:Lang-en-short）は、（加群の理論と補間法の）二種類の方法で定義されるテンプレート:Mvar 進テンプレート:Mvar 関数は（それが定義可能な限りは）一致するはずであるという形で定式化された。この予想は結果としては、バリー・メイザーとアンドリュー・ワイルズによって有理数体 Q の場合に、またやはりワイルズによって任意の総実数体の場合に証明された。

逸話

岩澤理論はワイルズによるフェルマーの最終定理の解決に貢献している。証明発表後に致命的な誤りが見つかった後、岩澤理論とコリヴァギン＝フラッハ法を使うことにより修正することができたと説明されることもあるテンプレート:Sfnが、フェルマーの最終定理を解決した論文の導入部においてワイルズは次のようにも述べている。

The last step after the June, 1993, announcement, though elusive, was but the conclusion of a long process whose purpose was to replace, in the ring-theoretic setting, the methods based on Iwasawa theory by methods based on the use of auxiliary primes.^[1]

1993年6月の発表後に得た研究成果は、うまく言えませんが、環論的な設定の中で岩澤理論にもとづく手法を補助素数を使う手法に置き換える目的で行った、一連の研究の自然な帰結なのです。

脚注

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注釈

テンプレート:Notelist

出典

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参考文献

外部リンク

テンプレート:SpringerEOM

テンプレート:Normdaten

↑ テンプレート:Cite journal

[1] テンプレート:Cite journal

[1]

岩澤理論

目次

テンプレート:Math 拡大

イデアル類群と岩澤類数公式

証明と岩澤代数

固有空間への分解

岩澤不変量

特性多項式の具体例

岩澤主予想

逸話

脚注

注釈

出典

参考文献

関連文献

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