中可換マグマ

抽象代数学における中可換マグマ（なかかかんマグマ、テンプレート:Lang-en-short）あるいは中可換亜群 (テンプレート:En) は、二項演算を備えた集合であって、以下の恒等式（中可換律）$$(x\cdot y)\cdot (u\cdot v)=(x\cdot u)\cdot (y\cdot v)$$を満足するものをいう。ここで「文字の併置は、同じ演算を表すが、より優先度が高い」という規約を設ければ、同じ恒等式をより簡明に テンプレート:Math と書くこともできる。 テンプレート:Group-like structures ここに、マグマ（亜群とも呼ばれる）は群を一般化する代数的構造である。上記の恒等式は、medial, abelian, alternation, transposition, interchange, bi-commutative, bisymmetric, surcommutative, entropic など様々な呼ばれ方をする

任意の可換半群は中可換マグマであり、また中可換マグマが単位元を持つための必要十分条件はそれが可換モノイドを成すことである。中可換マグマの成す半群の別のクラスにテンプレート:仮リンクがある。中可換マグマは必ずしも結合的でない。実際、任意の非自明なアーベル群と自然数 テンプレート:Math を用意して、アーベル群の群演算 テンプレート:Math を少し改変した二項演算 テンプレート:Math を考えれば、一般には結合的でも可換でもない中可換マグマが得られる。

圏論的な仕方で直積を定めるとき、直平方マグマ テンプレート:Math 上の演算を成分ごとの演算により テンプレート:Math と定義することができる。テンプレート:Mvar 上の二項演算 テンプレート:Math を写像 テンプレート:Math と見れば、テンプレート:Math, テンプレート:Math および テンプレート:Math が成り立つから、したがってマグマ テンプレート:Mvar が中可換となるための必要十分条件を、その二項演算がマグマ準同型テンプレート:Math となっていることと述べることができる。このことは可換図式を用いて容易に表示することができ、それによって圏論的直積を持つ圏の中可換マグマ対象の概念が導かれる。（テンプレート:仮リンクの項も参照）

中可換マグマの自己準同型 テンプレート:Mvar に対して、写像 テンプレート:Math を点ごとの積 $$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$$ と定めると、それ自身が一つの自己準同型を与える。

中可換準群の特徴付け

ブルック–マードック–豊田の定理 (Bruck–Murdoch-Toyoda theorem) は以下のように中可換準群テンプレート:Efnを特徴付けるものである。アーベル群 テンプレート:Mvar と互いに可換な二つのテンプレート:仮リンク テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Mvar 上の演算 テンプレート:Math を、テンプレート:Mvar の適当な元 テンプレート:Mvar をとって

テンプレート:Math

と定める。この演算のもとで テンプレート:Mvar が中可換準群を成すことを確かめるのは難しくない。ブルック–豊田の定理は、任意の中可換準群がこの形で得られる（すなわち、適当なアーベル群からこの仕方で作った準群に同型となる）ことを述べるものである。特に任意の中可換準群はアーベル群にテンプレート:仮リンクである。

この結果は テンプレート:Harvtxt, テンプレート:Harvtxt が独立に発見し、テンプレート:Harvtxt が再発見した。

一般化

中可換 (medial) やより一般的にエントロピー的 (entropic) という語は、複数の演算への一般化に対しても用いられる。与えられた代数的構造がエントロピー的代数系であるとは、その任意の二つの演算が中可換恒等式の一般化を満足するときに言う。すなわち、テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar がそれぞれ項数 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar の演算であるとき、この テンプレート:Mvar は $$f(g(x_{11},\dots ,x_{1n}),\dots ,g(x_{m1},\dots ,x_{mn}))=g(f(x_{11},\dots ,x_{m1}),\dots ,f(x_{1n},\dots ,x_{mn}))$$ を満足しなければならない。

関連項目

• 中可換マグマの圏

参考文献

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