二十三角形

正二十三角形

二十三角形（にじゅうさんかくけい、にじゅうさんかっけい、icositrigon）は、多角形の一つで、23本の辺と23個の頂点を持つ図形である。内角の和は3780°、対角線の本数は230本である。

正二十三角形

正二十三角形においては、中心角と外角は15.652…°で、内角は164.347…°となる。一辺の長さが a の正二十三角形の面積 S は

$S=\frac{23}{4}{a}^2\cot \frac{\pi }{23}\simeq 41.83436a^2$

$\cos (2\pi /23)$の値は、11次方程式を解くことにより冪根で表現される。$z^{11}=1$の複素数解の一つ $e^{\frac{2\pi }{11}i}$ をσとおいて、10次多項式にσを代入した値の11乗根を10個(${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4,{\lambda }_5,{\lambda }_6,{\lambda }_7,{\lambda }_8,{\lambda }_9,{\lambda }_{10}$)用いて表される。

$\cos \frac{2\pi }{23}=\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3+{\lambda }_4+{\lambda }_5+{\lambda }_6+{\lambda }_7+{\lambda }_8+{\lambda }_9+{\lambda }_{10}-1}{22}$

${\lambda }_1=\sqrt[11]{23(384812+188298\sigma -625515{\sigma }^2-78859{\sigma }^3+740707{\sigma }^4+84370{\sigma }^5+834405{\sigma }^6+98208{\sigma }^7+361900{\sigma }^8-56177{\sigma }^9)}$

${\lambda }_2=\sqrt[11]{23(384812+188298{\sigma }^2-625515{\sigma }^4-78859{\sigma }^6+740707{\sigma }^8+84370{\sigma }^{10}+834405\sigma +98208{\sigma }^3+361900{\sigma }^5-56177{\sigma }^7)}$

${\lambda }_3=\sqrt[11]{23(384812+188298{\sigma }^3-625515{\sigma }^6-78859{\sigma }^9+740707\sigma +84370{\sigma }^4+834405{\sigma }^7+98208{\sigma }^{10}+361900{\sigma }^2-56177{\sigma }^5)}$

${\lambda }_4=\sqrt[11]{23(384812+188298{\sigma }^4-625515{\sigma }^8-78859\sigma +740707{\sigma }^5+84370{\sigma }^9+834405{\sigma }^2+98208{\sigma }^6+361900{\sigma }^{10}-56177{\sigma }^3)}$

${\lambda }_5=\sqrt[11]{23(384812+188298{\sigma }^5-625515{\sigma }^{10}-78859{\sigma }^4+740707{\sigma }^9+84370{\sigma }^3+834405{\sigma }^8+98208{\sigma }^2+361900{\sigma }^7-56177\sigma )}$

${\lambda }_6=\sqrt[11]{23(384812+188298{\sigma }^6-625515\sigma -78859{\sigma }^7+740707{\sigma }^2+84370{\sigma }^8+834405{\sigma }^3+98208{\sigma }^9+361900{\sigma }^4-56177{\sigma }^{10})}$

${\lambda }_7=\sqrt[11]{23(384812+188298{\sigma }^7-625515{\sigma }^3-78859{\sigma }^{10}+740707{\sigma }^6+84370{\sigma }^2+834405{\sigma }^9+98208{\sigma }^5+361900\sigma -56177{\sigma }^8)}$

${\lambda }_8=\sqrt[11]{23(384812+188298{\sigma }^8-625515{\sigma }^5-78859{\sigma }^2+740707{\sigma }^{10}+84370{\sigma }^7+834405{\sigma }^4+98208\sigma +361900{\sigma }^9-56177{\sigma }^6)}$

${\lambda }_9=\sqrt[11]{23(384812+188298{\sigma }^9-625515{\sigma }^7-78859{\sigma }^5+740707{\sigma }^3+84370\sigma +834405{\sigma }^{10}+98208{\sigma }^8+361900{\sigma }^6-56177{\sigma }^4)}$

${\lambda }_{10}=\sqrt[11]{23(384812+188298{\sigma }^{10}-625515{\sigma }^9-78859{\sigma }^8+740707{\sigma }^7+84370{\sigma }^6+834405{\sigma }^5+98208{\sigma }^4+361900{\sigma }^3-56177{\sigma }^2)}$

正二十三角形の作図

正二十三角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正二十三角形は折紙により作図が不可能な図形である。

関連項目

• 1の冪根
• 十一角形

外部リンク

テンプレート:MathWorld

• テンプレート:Pi/23