円柱座標変換

テンプレート:複数の問題 円柱座標変換（えんちゅうざひょうへんかん）とは、3次元ユークリッド空間 （数ベクトル空間)の、非線形な座標変換の一つである。円柱座標変換の逆写像のことを、円柱座標系という。円柱座標系は、極座標系の一種である。

円柱座標変換は、電子レンズなど、軸対称な系の計算によく用いられる。

定義

定義

円柱座標変換Φとは、

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta )=\left(\begin{array}{c}r\cos \theta \\ r\sin \theta \\ \zeta \end{array}\right)$　　(1-1-1)

で表される、r -θ-ζ空間からx -y -z 空間への多変数ベクトル値関数のことである。式（1-1-1）で定義されたΦに相似変換、場合によっては正則なアフィン変換を施したものも、円柱座標変換ということがあるので、特に混乱が生じる場合には（1-1-1）で定義されたΦを標準的な円柱座標変換ということにする。

r-θ-ζ空間、x-y-z空間の正体

数学的には、r -θ-ζ空間、x -y -z 空間は、共に3次元実数ベクトル空間（${ℝ}^3$）である。r -θ-ζ空間においては、第一軸方向をr 方向（r 軸）、第二軸方向をθ方向（θ軸）、第三軸方向をζ方向（ζ軸）とする。x -y -z 空間においても同様に、第一軸方向をx 方向（x 軸）、第二軸方向をy 方向（y 軸）、第三軸をz 方向（z軸）とする。この三軸によって定まる座標系を、「x -y -z 空間の標準座標系」（O-xyz 系）という。

定義域

式(1-1-1)の円柱座標変換Φ はr -θ-ζ空間のすべての点において、矛盾なく定義がされている。例えば、

$\mathrm{\Phi }(-3,2\pi ,7)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 7\end{array}\right)$　　(1-3-1)

のように、どのような (r, θ, ζ) に対しても、ただ一つの行き先を定めることができる。

しかし、本記事では特段の断りがない限り、Φ の定義域は式(1-3-2) に定める領域 V に制限されているものとする。V は、r -θ-ζ の部分集合であり、閉集合である（開集合ではない）。

$V=\{\left(\begin{array}{c}r\\ \theta \\ \zeta \end{array}\right)|\begin{array}{c}0\le r\\ 0\le \theta \le 2\pi \\ -\mathrm{\infty }<\zeta <\mathrm{\infty }\end{array}\}$　　(1-3-2)

つまり、Φ に代入されるものは、

$\{\begin{array}{c}0\le r\\ 0\le \theta \le 2\pi \\ -\mathrm{\infty }<\zeta <\mathrm{\infty }\end{array}$　　(1-3-3)

のすべての条件を満たす点全てに限って考えることにする。

Φ の定義域を式(1-3-2) の V に制限してもよい理由は、全射性が保たれていることによる。

円柱座標系との関係

テンプレート:See also x -y -z 空間に、標準座標系（O-xyz 系；「r -θ-ζ空間、x -y -z 空間の正体」の項参照）が定められているとする。このとき、円柱座標系P とは、

$\left(\begin{array}{c}r\\ \theta \\ \zeta \end{array}\right)=P(x,y,z)=$$\left(\begin{array}{c}\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta (x,y,z)\\ z\end{array}\right)$　　(1-4-1)

で表される、x -y -z からr -θ-ζ空間への多変数ベクトル値関数のことである。但し、θ(x , y , z) は、以下の定義式(1-4-2)で与えられるスカラー値関数である。θ(x , y , z) の定義域はx -y -z 空間の原点以外である。その他の成分は、x -y -z 空間全域で定義されている。従って、円柱座標系P の定義域は、x -y -z 空間の原点以外である。

$\theta (x,y,z)=\{\begin{array}{cc}{\tan }^{-1}(y/x)& (x>0,y>0)\\ \frac{\pi }{2}& (x=0,y>0)\\ \pi +{\tan }^{-1}(y/x)& (x<0)\\ \frac{3\pi }{2}& (x=0,y<0)\\ 2\pi +{\tan }^{-1}(y/x)& (x=0,y<0)\end{array}$　　(1-4-2)

円柱座標系は、以下の手順で、幾何学的に理解することもできる。

• 任意の点Pからxy平面に下した垂線の足をQとする。
• 線分OQの長さをrとする。
• 線分QPの長さをζとする。
• x軸と線分OQのなす角度をθとする。

また、円柱座標系と円柱座標変換は、相互に逆変換となっている。

微分

微分

円柱座標変換の偏導関数は、

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,\zeta )=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \\ 0\end{array}\right)$　　(2-1-1)

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta )=\left(\begin{array}{c}-r\sin (\theta )\\ r\cos (\theta )\\ 0\end{array}\right)$　　(2-1-2)

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta )=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$　　(2-1-3)

である。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。

従って、円柱座標変換の点 (r , θ, ζ) におけるヤコビ行列J Φ(r , θ, ζ) およびヤコビアン det(J Φ(r , θ, ζ)) は以下のようになる。ヤコビ行列、ヤコビアン共に定義域はr -θ-ζ空間全域である。

$J\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$　　(2-1-4)

$\det (J\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r\sin \theta & 0\\ \sin \theta & r\cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=r$　　(2-1-5)

従って、円座標のときと同じく、特異点（ヤコビアンが 0 となる点）は、r = 0 となる点全て、つまり (0, θ, ζ) の形であらわされる点全てである。これらの点は全てx -y -z 空間上ではz 軸に移る。

法線

標準的な円柱座標変換Φに対し、N_r , N_θ , N_ζ を以下のように定義し、それぞれr 法線、θ法線、ζ法線と呼ぶ。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。

${𝐍}_r(r,\theta ,\zeta )=\frac{(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ))\times (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ))}{\Vert (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ))\times (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ))\Vert }=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \\ 0\end{array}\right)$　　(2-2-1)

${𝐍}_{\theta }(r,\theta ,\zeta )=\frac{(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ))\times (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,\zeta ))}{\Vert (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \zeta }(r,\theta ,\zeta ))\times (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,\zeta ))\Vert }=\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0\end{array}\right)$　　(2-2-2)

${𝐍}_z(r,\theta ,\zeta )=\frac{(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,\zeta ))\times (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ))}{\Vert (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,\zeta ))\times (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }(r,\theta ,\zeta ))\Vert }=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$　　(2-2-3)

ここで、“×”はベクトル積を意味する。これらの幾何学的な意味は、後述するが、幾何学的な意味でも、これらは法線になっている。

円柱と円柱座標

この節では、後述の説明のために記号を定義する。

円柱と円柱座標

M を、$x-y-z$空間で半径r₀ 、高さz₀のふたと底のある、中身のつまった円柱（以降「ソリッド円柱」と呼ぶ）とする。式で書くと

$M=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)|\begin{array}{c}{x}^2+y^2\le r_0\\ 0\le z\le z_0\end{array}\}$　　(3-1-1)

である。さらに、「ソリッド円柱」に該当するもの全ては、このM に相似変換を加えれば集合として実現できるので、以下は、M のみについて考える。

次に、このM を、円柱座標変換Φとr -θ-ζ空間内の直方体（六面体）L を用いてパラメータ付け（パラメトライズ）することを考える。r -θ-ζ空間内の直方体L を

$L=\{\left(\begin{array}{c}r\\ \theta \\ \zeta \end{array}\right)|\begin{array}{c}0\le r\le r_0\\ 0\le \theta \le 2\pi \\ 0\le \zeta \le z_0\end{array}\}$　　(3-1-2)

と定義する。L の3辺の長さはそれぞれ、r₀ , θ₀ , 2πである。M は、L のΦによる像集合である。すなわち

$M=\mathrm{\Phi }(L)$　　(3-1-3)

である。上式の等号は、集合として等しいことを意味する。

円柱表面

式(3-1-1)のソリッド円柱M の表面を$\partial M$と書き、円柱表面、円筒面、M の表面、あるいはM の境界面と呼ぶ。表面∂M は、以下のΔ₁ , Δ₂ , Δ₃ に分割することができる。

${\mathrm{\Delta }}_1=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)|\begin{array}{c}{x}^2+y^2\le r_0\\ z=0\end{array}\}$　　(3-2-1)

${\mathrm{\Delta }}_2=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)|\begin{array}{c}{x}^2+y^2=r_0\\ 0\le z\le z_0\end{array}\}$　　(3-2-2)

${\mathrm{\Delta }}_3=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)|\begin{array}{c}{x}^2+y^2\le r_0\\ z=z_0\end{array}\}$　　(3-2-3)

Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ をそれぞれ、下面、側面、上面という。

逆に言うと、Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ を貼り合わせたものが∂M である。集合演算を用いると、

$\partial M={\mathrm{\Delta }}_1\cup {\mathrm{\Delta }}_2\cup {\mathrm{\Delta }}_3$　　(3-2-4)

のようになる。

次に、Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ を、円柱座標変換を利用してパラメトライズすることを考える。D₁ , D₂ , D₃ を以下のように定める。

$D_1=\{\left(\begin{array}{c}r\\ \theta \end{array}\right)|\begin{array}{c}0\le r\le r_0\\ 0\le \theta \le 2\pi \end{array}\}$　　(3-2-5)

$D_2=\{\left(\begin{array}{c}\theta \\ \zeta \end{array}\right)|\begin{array}{c}0\le \theta \le 2\pi \\ 0\le \zeta \le z_0\end{array}\}$　　(3-2-6)

$D_3=\{\left(\begin{array}{c}r\\ \theta \end{array}\right)|\begin{array}{c}0\le r\le r_0\\ 0\le \theta \le 2\pi \end{array}\}$　　(3-2-7)

D₁ , D₂ , D₃ は、それぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面の部分集合となっている。また、D₁ とD₃ は集合として全く等しいものである。

また、x -y -z 空間に値を取るベクトル値関数I₁ , I₂ , I₃ を以下のように定義する。I₁ , I₂ , I₃ の定義域は、本来的にはそれぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面であるが、ここでは、それぞれの定義域をD₁ , D₂ , D₃ に制限して考えることにする。これらI₁ , I₂ , I₃ を、それぞれΔ₁ , Δ₂ , Δ₃ のパラメータと呼ぶ。

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)={𝐈}_1(r,\theta )=\mathrm{\Phi }(r,\theta ,0)=\left(\begin{array}{c}r\cos \theta \\ r\sin \theta \\ 0\end{array}\right)$　　(3-2-8)

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)={𝐈}_2(\theta ,\zeta )=\mathrm{\Phi }(r_0,\theta ,\zeta )=\left(\begin{array}{c}{r}_0\cos \theta \\ r_0\sin \theta \\ \zeta \end{array}\right)$　　(3-2-9)

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)={𝐈}_3(r,\theta )=\mathrm{\Phi }(r,\theta ,z_0)=\left(\begin{array}{c}r\cos (-\theta )\\ r\sin (-\theta )\\ z_0\end{array}\right)$　　(3-2-10)

Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ は、それぞれD₁ , D₂ , D₃ のI₁ , I₂ , I₃ による像集合となっている：

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta }}_1={𝐈}_1(D_1)\\ {\mathrm{\Delta }}_2={𝐈}_2(D_2)\\ {\mathrm{\Delta }}_3={𝐈}_3(D_3)\end{array}$　　(3-2-11)

ここで、“＝”は集合としての等号である。例えば、Δ₁ = I₁(D₁) とは、Δ₁ とI₁ (D₁) が集合として等しいことを意味している。

Δ₁ , Δ₂ , Δ₃ それぞれの法線ベクトルを、N_Δ1 , N_Δ2 , N_Δ3と書く：

${𝐍}_{{\mathrm{\Delta }}_1}(r,\theta )=\frac{(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,0))\times (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }(r,\theta ,0))}{\Vert (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,0))\times (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }(r,\theta ,0))\Vert }={𝐍}_{\zeta }(r,\theta ,{\zeta }_0)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$　　(3-2-12)

${𝐍}_{{\mathrm{\Delta }}_2}(\theta ,\zeta )=\frac{(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \zeta }(r_0,\theta ,\zeta ))\times (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,\zeta ))}{\Vert (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \zeta }(r_0,\theta ,\zeta ))\times (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,\zeta ))\Vert }={𝐍}_r(r,\theta ,\zeta )=\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \\ 0\end{array}\right)$　　(3-2-13)

${𝐍}_{{\mathrm{\Delta }}_3}(r,\theta )=\frac{(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,{\zeta }_0))\times (-\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }\right)(r,\theta ,{\zeta }_0))}{\Vert (\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}(r,\theta ,{\zeta }_0))\times (-\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta }\right)(r,\theta ,{\zeta }_0))\Vert }=-{𝐍}_{\zeta }(r,\theta ,{\zeta }_0)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$　　(3-2-14)

N_Δ1 , N_Δ2 , N_Δ3 の定義域は、それぞれD₁ , D₂ , D₃ である。ここで、N_θに平行なものがないことに注意されたい。

ベクトル場

x -y -z 空間で定義されたベクトル場X をx -y -z 座標系について表示すると

$𝐗(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}{X}_x(x,y,z)\\ X_y(x,y,z)\\ X_z(x,y,z)\end{array}\right)$　　(4-1-1)

となる。これを円柱座標表示に変換することを考える。まず、スカラー値関数X_r (r , θ, ζ) , X_θ (r , θ, ζ) , X_ζ (r , θ, ζ) を、

$\{\begin{array}{c}{X}_r=𝐗\cdot {𝐍}_r\\ X_{\theta }=𝐗\cdot {𝐍}_{\theta }\\ X_{\zeta }=𝐗\cdot {𝐍}_z\end{array}$　(4-1-2)

と定義する。正確に書くと

$\{\begin{array}{c}{X}_r(r,\theta ,\zeta )=𝐗(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))\cdot {𝐍}_r(r,\theta ,\zeta )\\ X_{\theta }(r,\theta ,\zeta )=𝐗(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))\cdot {𝐍}_{\theta }(r,\theta ,\zeta )\\ X_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )=𝐗(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))\cdot {𝐍}_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )\end{array}$　(4-1-3)

である。ここで、・は内積を意味する。定義式(4-1-3)から明らかなように、これらの定義域はr -θ-ζ空間全域（r = 0 となる点を含む）である。

ここで以下が成立する。”$\circ$”は、合成関数の意味である。

$\{\begin{array}{c}{X}_r=(X_x\circ \mathrm{\Phi })\cos \theta +(X_y\circ \mathrm{\Phi })\sin \theta \\ X_{\theta }=-(X_x\circ \mathrm{\Phi })\sin \theta +(X_y\circ \mathrm{\Phi })\cos \theta \\ X_{\zeta }=X_z\circ \mathrm{\Phi }\end{array}$　　　(4-1-4)

またはこれを逆に解くと

$\{\begin{array}{c}{X}_x\circ \mathrm{\Phi }=X_r\cos \theta -X_{\theta }\sin \theta \\ X_y\circ \mathrm{\Phi }=X_r\sin \theta +X_{\theta }\cos \theta \\ X_z\circ \mathrm{\Phi }=X_{\zeta }\end{array}$　　　(4-1-5)

が分かる。

また、次の等式がr = 0 となる点を含むすべての (r , θ, ζ) に対して成立する。

$𝐗(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,z))=(X_r{𝐍}_r)(r,\theta ,z)+(X_{\theta }{𝐍}_{\theta })(r,\theta ,z)+(X_z{𝐍}_z)(r,\theta ,z)$　　　(4-1-6)

式(4-1-6)を、ベクトル場の円柱座標表示という。より正確な言い方をすると、「x -y -z 空間で定義されたベクトル場X の円柱座標表示」という。

積分

体積分

ここではx -y -z 空間で定義されたスカラー値関数f の、式(3-1-1)の円柱M 内部での積分

${\int }_{M}fdxdydz$　　(5-1-1)

の計算方法を説明する。円柱M について

$M=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)|\begin{array}{c}{x}^2+y^2\le r_0\\ 0\le z\le z_0\end{array}\}$$=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)|\begin{array}{c}-r_0\le x\le r_0\\ -\sqrt{r_0^2-x^2}\le y\le \sqrt{r_0^2-x^2}\\ 0\le z\le z_0\end{array}\}$　　(5-1-2)

が成立することに注意すると、f の積分は以下のように累次積分に帰着されることが分かる。

$\underset{M}{\int }fdxdydz=\underset{z=-z_0}{\overset{z=z_0}{\int }}\underset{x=-r_0^{}}{\overset{x=r}{\int }}\underset{y=-\sqrt{r_0^2-x^2}}{\overset{y=\sqrt{r_0^2-x^2}}{\int }}f(x,y,z)dxdydz$　　(5-1-3)

また、式(3-1-2)の直方体L に対しM = Φ(L )（式(3-1-3)）であることと、ヤコビアン（式(2-1-5)）に注意して、積分の変数変換公式を用いると、

$\begin{array}{cc}\underset{M}{\overset{}{\int }}fdxdydz& =\underset{L}{\int }(f\circ \mathrm{\Phi })\cdot (\det J\mathrm{\Phi })drd\theta d\zeta \\ & =\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}\underset{\zeta =-z_0}{\overset{\zeta =z_0}{\int }}r\cdot (f\circ \mathrm{\Phi })(r,\theta ,\zeta )drd\theta d\zeta \end{array}$　　(5-1-4)

が分かる。

以上、まとめると、

$\begin{array}{cc}\underset{M}{\int }fdxdydz& =\underset{z=-z_0}{\overset{z=z_0}{\int }}\underset{x=-r_0}{\overset{x=r}{\int }}\underset{y=-\sqrt{r_0^2-x^2}}{\overset{y=\sqrt{r_0^2-x^2}}{\int }}f(x,y,z)dxdydz\\ & =\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}\underset{\zeta =-z_0}{\overset{\zeta =z_0}{\int }}r\cdot (f\circ \mathrm{\Phi })(r,\theta ,\zeta )drd\theta d\zeta \end{array}$　(5-1-5)

がわかる。

面積分

ここでは、ベクトル場の円柱表面∂M 上での面積分の計算方法を説明する。

x -y -z 空間で定義されたベクトル場X に対して、円柱面∂M 上の面積分を

$\underset{\partial 𝐌}{\int }𝐗=\underset{{\mathrm{\Delta }}_1}{\int }𝐗+\underset{{\mathrm{\Delta }}_2}{\int }𝐗+\underset{{\mathrm{\Delta }}_3}{\int }𝐗$　　　(5-2-1)

で定める。但し、右辺の各項は

$\underset{{\mathrm{\Delta }}_1}{\int }𝐗=\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}(𝐗\cdot (\frac{\partial {𝐈}_1}{\partial r}\times \frac{\partial {𝐈}_1}{\partial \theta }))d\theta dr$　　　(5-2-2)

$\underset{{\mathrm{\Delta }}_2}{\int }𝐗=\underset{\zeta =0}{\overset{\zeta ={\zeta }_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}(𝐗\cdot (\frac{\partial {𝐈}_2}{\partial \theta }\times \frac{\partial {𝐈}_2}{\partial \zeta }))d\theta d\zeta$　　　(5-2-3)

$\underset{{\mathrm{\Delta }}_3}{\int }𝐗=\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}(𝐗\cdot (\frac{\partial {𝐈}_3}{\partial r}\times \frac{\partial {𝐈}_3}{\partial \theta }))d\theta dr$　　　(5-2-4)

である。ここで、

$𝐗\cdot (\frac{\partial {𝐈}_1}{\partial r}\times \frac{\partial {𝐈}_1}{\partial \theta })=𝐗\cdot \frac{(\frac{\partial {𝐈}_1}{\partial r}\times \frac{\partial {𝐈}_1}{\partial \theta })}{\Vert \frac{\partial {𝐈}_1}{\partial r}\times \frac{\partial {𝐈}_1}{\partial \theta }\Vert }\Vert \frac{\partial {𝐈}_1}{\partial r}\times \frac{\partial {𝐈}_1}{\partial \theta }\Vert =(𝐗\cdot {𝐍}_{\zeta })\Vert \frac{\partial {𝐈}_1}{\partial r}\times \frac{\partial {𝐈}_1}{\partial \theta }\Vert =r\cdot X_{\zeta }$　(5-2-5)

同様に、

$𝐗\cdot (\frac{\partial {𝐈}_2}{\partial \theta }\times \frac{\partial {𝐈}_2}{\partial \zeta })=r_0\cdot X_r$　　　(5-2-6)

$𝐗\cdot (\frac{\partial {𝐈}_3}{\partial \theta }\times \frac{\partial {𝐈}_3}{\partial \zeta })=-r\cdot X_{\zeta }$　　　(5-2-7)

なので、

$\underset{{\mathrm{\Delta }}_1}{\int }𝐗=\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}r\cdot X_{\zeta }(r,\theta ,{\zeta }_0)d\theta dr$　　　(5-2-8)

$\underset{{\mathrm{\Delta }}_2}{\int }𝐗=\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}{r}_0\cdot X_r(r_0,\theta ,\zeta )d\theta d\zeta$　　　(5-2-9)

$\underset{{\mathrm{\Delta }}_3}{\int }𝐗=\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}-r\cdot X_{\zeta }(r,\theta ,0)d\theta dr$　　　(5-2-10)

である。従って、

$\underset{\partial 𝐌}{\int }𝐗=\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}r(X_{\zeta }(r,\theta ,{\zeta }_0)-X_{\zeta }(r,\theta ,0))d\theta dr+\underset{\zeta =0}{\overset{\zeta ={\zeta }_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}{r}_0{X}_r(r_0,\theta ,\zeta )d\theta d\zeta$　　　(5-2-11)

が分かる。

ガウスの発散定理

x -y -z 空間で定義されたベクトル場X に対して、

$\underset{\partial M}{\int }𝐗=\underset{M}{\int }\mathrm{div}\mathbf{\text{X}}dxdydz$　　　(5-3-1)

が成立する。この事実を、円柱面におけるガウスの発散定理という。ここで、

$\mathrm{div}𝐗=\left(\frac{\partial X_x}{\partial x}\right)+\left(\frac{\partial X_y}{\partial y}\right)+\left(\frac{\partial X_z}{\partial z}\right)$　　　(5-3-2)

はベクトル場X の発散である。以下、証明を行う。

証明の準備

(5-1-5)、(5-2-2)、(5-2-3)、(5-2-4)より、

$\underset{\zeta =0}{\overset{\zeta ={\zeta }_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}{r}_0{X}_r(r_0,\theta ,\zeta )d\theta d\zeta =\underset{M}{\int }(\left(\frac{\partial X_x}{\partial x}\right)+\left(\frac{\partial X_y}{\partial y}\right))dxdydz$　　　(5-3-3)

$\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}r(X_{\varsigma }(r,\theta ,{\zeta }_0)-X_{\zeta }(r,\theta ,0))d\theta dr=\underset{M}{\int }\left(\frac{\partial X_z}{\partial z}\right)dxdydz$　　　(5-3-4)

を示せばよいことがわかる。

x,y成分についての証明

まず、式(5-3-3)を示す。

x -y 平面上の曲線c (t ) を、

$c(t)=\left(\begin{array}{c}{r}_0\cos t\\ r_0\sin t\end{array}\right)$　　　(5-3-5)

とする。また、変数z を固定して考えることで、x -y 平面上の二次元ベクトル場

$𝐀(x,y)=\left(\begin{array}{c}a(x,y)\\ b(x,y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-X_y(x,y,z)\\ X_x(x,y,z)\end{array}\right)$　　　(5-3-6)

を考える。また、平面曲線と、二次元ベクトル場に対しては、(5-3-6)に対するグリーンの定理：

$\underset{c}{\overset{}{\int }}A=\underset{x=-r_0}{\overset{x=r_0}{\int }}\underset{-\sqrt{{r_0}^2-x^2}}{\overset{\sqrt{{r_0}^2-x^2}}{\int }}(\frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y})dxdy$　　　(5-3-7)

が成立することは、既知とする。

このとき

$\begin{array}{cc}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}{r}_0{X}_r(r_0,\theta ,\zeta )d\theta & =\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}((X_x\circ \mathrm{\Phi })r_0\cos \theta +(X_y\circ \mathrm{\Phi })r_0\sin \theta )d\theta \\ & =\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}(X_x(r_0\cos \theta ,r_0\sin \theta ,\zeta )r_0\cos \theta +X_y(r_0\cos \theta ,r_0\sin \theta ,\zeta )r_0\sin \theta )d\theta \\ & =\underset{t=0}{\overset{t=2\pi }{\int }}\left(\begin{array}{c}-X_y(r_0\cos t,r_0\sin t,\zeta )\\ X_x(r_0\cos t,r_0\sin t,\zeta )\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-r_0\sin t\\ r_0\cos t\end{array}\right)dt\\ & =\underset{t=0}{\overset{t=2\pi }{\int }}\left(\begin{array}{c}a\circ c(t)\\ b\circ c(t)\end{array}\right)\cdot \left(\frac{dc}{dt}\right)dt\\ & =\underset{x=-r_0}{\overset{x=r_0}{\int }}\underset{y=-\sqrt{{r_0}^2-x^2}}{\overset{y=\sqrt{{r_0}^2-x^2}}{\int }}(\frac{\partial b}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial y})dydx\\ & =\underset{x=-r_0}{\overset{x=r_0}{\int }}\underset{y=-\sqrt{{r_0}^2-x^2}}{\overset{y=\sqrt{{r_0}^2-x^2}}{\int }}(\frac{\partial X_x(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial X_y(x,y,z)}{\partial y})dydx\end{array}$　　　(5-3-8)

が成り立つ。従って、

$\underset{\zeta =0}{\overset{\zeta ={\zeta }_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}{X}_r(r_0,\theta ,\zeta )d\theta d\zeta =\underset{z=0}{\overset{z={\zeta }_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}{X}_r(r_0,\theta ,z)d\theta dz$

$\underset{z=0}{\overset{z={\zeta }_0}{\int }}\underset{x=-r}{\overset{x=r}{\int }}\underset{y=-\sqrt{r^2-x^2}}{\overset{y=\sqrt{r^2-x^2}}{\int }}(\frac{\partial X_x(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial X_y(x,y,z)}{\partial y})dydxdz$　　　(5-3-9)

z成分について

次に、

$\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}r(X_{\varsigma }(r,\theta ,{\zeta }_0)-X_{\zeta }(r,\theta ,0))d\theta dr=\underset{M}{\int }\left(\frac{\partial X_z}{\partial z}\right)dxdydz$　　　(5-3-10)

を示す。

$\underset{z=0}{\overset{z={\zeta }_0}{\int }}\frac{\partial X_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )}{\partial \zeta }d\zeta =X_{\zeta }(r,\theta ,{\zeta }_0)-X_{\zeta }(r,\theta ,0)$　　　(5-3-11)

なので、

$\begin{array}{cc}\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}r(X_{\varsigma }(r,\theta ,{\zeta }_0)-X_{\zeta }(r,\theta ,0))d\theta dr& =\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}r\left(\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}(X_{\varsigma }(r,\theta ,{\zeta }_0)-X_{\zeta }(r,\theta ,0))d\theta \right)dr\\ & =\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}r\left(\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}\underset{\zeta =0}{\overset{\zeta ={\zeta }_0}{\int }}\frac{\partial X_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )}{\partial \zeta }d\zeta d\theta \right)dr\\ & =\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}\underset{\zeta =0}{\overset{\zeta ={\zeta }_0}{\int }}\left(\frac{\partial X_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )}{\partial \zeta }\right)rd\zeta d\theta dr\\ & =\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}\underset{\zeta =0}{\overset{\zeta ={\zeta }_0}{\int }}(\left(\frac{\partial X_z}{\partial z}\right){}^{\circ }\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))rd\zeta d\theta dr\\ & =\underset{r=0}{\overset{r=r_0}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{\theta =2\pi }{\int }}\underset{\zeta =0}{\overset{\zeta ={\zeta }_0}{\int }}(\left(\frac{\partial X_z}{\partial z}\right){}^{\circ }\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))(\det (J\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta )))d\zeta d\theta dr\\ & =\underset{z=0}{\overset{z={\zeta }_0}{\int }}\underset{x=-r}{\overset{x=r}{\int }}\underset{y=-\sqrt{r^2-x^2}}{\overset{y=\sqrt{r^2-x^2}}{\int }}\left(\frac{\partial X_z(x,y,z)}{\partial z}\right)dydxdz\end{array}$　　　(5-3-12)

■

スカラー関数に作用する微分作用素

x-y-z空間における偏微分

f を、x -y -z 空間で定義されたスカラー値関数とする。このとき、r ≠ 0 をみたす任意の (r , θ, ζ) に対して以下の(6-1-1)～(6-1-3)の等式が成立する：

$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))=\cos \theta (\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial r}\right)(r,\theta ,z))-\frac{\sin \theta }{r}(\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial \theta }\right)(r,\theta ,z))$　(6-1-1)

$\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))=\sin \theta (\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial r}\right)(r,\theta ,z))+\frac{\cos \theta }{r}(\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial \theta }\right)(r,\theta ,z))$　(6-1-2)

$\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,z))=\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial \zeta }\right)(r,\theta ,z)$　(6-1-3)

上記の3式は、しばしば略記的に以下のように表記される：

$\{\begin{array}{c}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\cos \theta \left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)-\frac{\sin \theta }{r}\left(\frac{\partial f}{\partial \theta }\right)\\ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\sin \theta \left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{\cos \theta }{r}\left(\frac{\partial f}{\partial \theta }\right)\\ \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial \zeta }\right)\end{array}$　(6-1-4)

勾配作用素

テンプレート:節スタブ 勾配 grad ：

$\begin{array}{cc}(\mathrm{grad}f)(x,y,z)& =\left(\begin{array}{c}(\partial f/\partial x)(x,y,z)\\ (\partial f/\partial y)(x,y,z)\\ (\partial f/\partial z)(x,y,z)\end{array}\right)\\ & =(\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(x,y,z))\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+(\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(x,y,z))\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+(\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)(x,y,z))\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$ (6-2-1)

を円柱座標変換すると

．．．

以下、証明を行う。(grad f )(Φ(r , θ, ζ)) と、N_r (r , θ, ζ) の内積を取ると、

$\begin{array}{cc}[(\mathrm{grad}f)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))]\cdot ({𝐍}_r(r,\theta ,\zeta ))=& (\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta )),\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta )),\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta )))\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \\ 0\end{array}\right)\\ =& \cos \theta (\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta )))+\sin \theta (\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta )))\\ =& \cos \theta [\cos \theta (\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial r}\right)(r,\theta ,z))-\frac{\sin \theta }{r}(\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial \theta }\right)(r,\theta ,z))]\\ & +\sin \theta [\sin \theta (\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial r}\right)(r,\theta ,z))+\frac{\cos \theta }{r}(\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial \theta }\right)(r,\theta ,z))]\\ =& \left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial r}\right)(r,\theta ,z)\end{array}$　(6-2-2)

であり、同様に、N_θ(r , θ, ζ) , N_ζ(r , θ, ζ) についても、

$[(\mathrm{grad}f)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))]\cdot ({𝐍}_{\theta }(r,\theta ,\zeta ))=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial \theta }\right)(r,\theta ,z)$ (6-2-3)

$[(\mathrm{grad}f)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))]\cdot ({𝐍}_{\zeta }(r,\theta ,\zeta ))=\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial \zeta }\right)(r,\theta ,\zeta )$ (6-2-3)

が成り立つ。従って「ベクトル場の円柱座標表示」と同様にして、上の等式が示せる。

ラプラシアン

ラプラシアンについても、r ≠ 0 をみたす任意の(r , θ, ζ) に対して以下の等式が成立する。

$\left(\mathrm{\Delta }f\right)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\left(\frac{\partial (f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial r}\right)\right)(r,\theta ,\zeta )+\frac{1}{r^2}\left(\frac{{\partial }^2(f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial {\theta }^2}\right)(r,\theta ,\zeta )+\left(\frac{{\partial }^2(f\circ \mathrm{\Phi })}{\partial {\xi }^2}\right)(r,\theta ,\zeta )$ (6-2-3)

ベクトル場に作用する微分作用素

発散

X を、x -y -z 空間で定義されたベクトル場とするとき、発散 div の円柱座標系表示として以下の等式が成立する。

$(\mathrm{div}X)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r\cdot X_r)}{\partial r}\right)(r,\theta ,\zeta )+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial X_{\theta }}{\partial \theta }\right)(r,\theta ,\zeta )+\left(\frac{\partial X_z}{\partial z}\right)(r,\theta ,\zeta )$

回転

回転 rot の円柱座標系表示については、次の等式が成立する。

$(\mathrm{rot}X)(\mathrm{\Phi }(r,\theta ,\zeta ))=({(\mathrm{rot}X)}_r(r,\theta ,z)){𝐍}_r(r,\theta ,\zeta )+({(\mathrm{rot}X)}_{\theta }(r,\theta ,z)){𝐍}_{\theta }(r,\theta ,\zeta )+({(\mathrm{rot}X)}_{\theta }(r,\theta ,z)){𝐍}_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )$

ただし

${(\mathrm{rot}X)}_r(r,\theta ,z)=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial X_{\zeta }}{\partial r}\right)(r,\theta ,z)-\left(\frac{\partial X_{\theta }}{\partial \zeta }\right)(r,\theta ,z)$

${(\mathrm{rot}X)}_{\theta }(r,\theta ,z)=\left(\frac{\partial X_r}{\partial \zeta }\right)(r,\theta ,z)-\left(\frac{\partial X_{\zeta }}{\partial r}\right)(r,\theta ,z)$

${(\mathrm{rot}X)}_{\zeta }(r,\theta ,z)=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial (r{X}_r)}{\partial r}\right)(r,\theta ,z)-\frac{1}{r}\left(\frac{\partial X_r}{\partial \theta }\right)(r,\theta ,z)$

である。

曲線・運動

運動

x -y -z 空間における運動を表す曲線

$c(t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right)$ (8-1-1)

が、r -θ-ζ空間に値を取る曲線

$\gamma (t)=\left(\begin{array}{c}r(t)\\ \theta (t)\\ z(t)\end{array}\right)$ (8-1-2)

と、円柱座標変換&Phi:を用いて、

$c(t)=\mathrm{\Phi }(\gamma (t))$ (8-1-3)

と表せるとき、γ(t ) を「曲線c (t ) の円柱座標表示」、あるいは「運動c (t ) の円柱座標表示」と呼ぶ。

式(8-1-3)は、

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$ (8-1-4)

の両辺を時刻t に関する関数と考えること、つまり、

$\{\begin{array}{c}x(r(t),\theta (t),z(t))=r(t)\cos \theta (t)\\ y(r(t),\theta (t),z(t))=r(t)\sin \theta (t)\\ z(r(t),\theta (t),z(t))=z(t)\end{array}$ (8-1-5)

と考えることと同じである。

速度ベクトル

x -y -z 空間における運動を表す曲線c (t ) の速度ベクトルv(t )：

$v(t)=\left(\frac{dc}{dt}\right)(t)$ (8-2-1)

について以下が成立する。

$\left(\begin{array}{c}{v}_x(t)\\ v_y(t)\\ v_z(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(dx/dt)(t)\\ (dy/dt)(t)\\ (dz/dt)(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \theta (t)-r(t)\cdot ((d\theta /dt)(t))\cdot \sin \theta (t)\\ \sin \theta (t)-r(t)\cdot ((d\theta /dt)(t))\cdot \cos \theta (t)\\ (dz/dt)(t)\end{array}\right)$ (8-2-2)

但しv_x , v_y , v_z は、それぞれv(t ) のx 成分、y 成分、z 成分を意味する。

また、

$\{\begin{array}{c}{v}_r(t)=v(t)\cdot {\mathbf{\text{N}}}_r(c(t))\\ v_{\theta }(t)=v(t)\cdot {\mathbf{\text{N}}}_{\theta }(c(t))\\ v_z(t)=v(t)\cdot {\mathbf{\text{N}}}_z(c(t))\end{array}$ (8-2-3)

のように定義すると、

$𝐯(t)=v_r(t){𝐍}_r(c(t))+v_{\theta }(t){𝐍}_{\theta }(c(t))+c_z(t){𝐍}_z(t)$ (8-2-4)

である。また、以下が成立する。

$\{\begin{array}{c}{v}_r(t)=(dr/dt)(t)\\ v_{\theta }(t)=r(t)\cdot ((d\theta /dt)(t))\\ v_z(t)=(dz/dt)(t)\end{array}$ (8-2-4)

加速度ベクトル

同様に曲線c (t ) の加速度ベクトルa(t ) ：

$\mathbf{\text{a}}(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{d\mathbf{\text{v}}}{dt}\end{array}\right)(t)$ (8-3-1)

については以下が成立する。

$𝐚(t)=a_r(t){𝐍}_r(c(t))+a_{\theta }(t){𝐍}_{\theta }(c(t))+a_z(t){𝐍}_z(c(t))$ (8-3-2)

但しa_x , a_y , a_z は、それぞれ a(t ) のx 成分、y 成分、z 成分を意味する。また、

$\{\begin{array}{c}{a}_r(t)=a(t)\cdot {\mathbf{\text{N}}}_r(c(t))\\ a_{\theta }(t)=a(t)\cdot {\mathbf{\text{N}}}_{\theta }(c(t))\\ a_z(t)=a(t)\cdot {\mathbf{\text{N}}}_z(c(t))\end{array}$ (8-3-2)

である。

さらに、以下が成立する。

$\{\begin{array}{c}{a}_r(t)=[((d^{2}r/d{t}^2)(t))-{((d\theta /dt)(t))}^2]\\ a_{\theta }(t)=[2((dr/dt)(t))(((d\theta /dt)(t)))+(r(t))((d^2\theta /d{t}^2)(t))]\\ a_z(t)=(d^{2}z/d{t}^2)(t)\end{array}$ (8-3-4)