対数凸関数

数学において、関数 $f$ が対数凸（たいすうとつ、テンプレート:En）または超凸（テンプレート:En）であるとは、$f$ と対数の合成関数 $\log \circ f$ 自体が凸関数であることをいう。

定義

$X$ を実ベクトル空間の凸集合とし、$f:X\to 𝐑$ を非負の値をとる関数とする。このとき、$f$ が：

• 対数凸であるとは、$\log \circ f$ が凸であることをいう。
• 狭義の対数凸であるとは、$\log \circ f$ が狭義の凸であることをいう。

ここで、 $\log 0$ は $-\mathrm{\infty }$ と解釈する。

明示的には、$f$ が対数凸であるための必要十分条件は、すべての $x_1,x_2\in X$ とすべての $t\in [0,1]$ に対して、以下の等価な2つの条件が成り立つことである：

$\begin{array}{cc}\log f(t{x}_1+(1-t)x_2)& \le t\log f(x_1)+(1-t)\log f(x_2),\\ f(t{x}_1+(1-t)x_2)& \le f(x_1{)}^{t}f(x_2{)}^{1-t}.\end{array}$

同様に、$f$ が狭義の対数凸であるための必要十分条件は、上記の2つの式において、すべての $t\in (0,1)$ に対して厳密な不等号が成り立つことである。

上記の定義では $f$ がゼロになることを許容しているが、$f$ が対数凸であり、かつ $X$ 内のどこかで値がゼロになるならば、$X$ の内部のいたるところで値はゼロになる。

等価な条件

$f$ が区間 $I\subseteq 𝐑$ 上で定義された微分可能な関数であるとき、$f$ が対数凸であるための必要十分条件は、$I$ 内のすべての $x$ および $y$ に対して次の条件が成り立つことである：

$\log f(x)\ge \log f(y)+\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}(x-y).$

これは、$x,y\in I$ かつ $x>y$ であるときは常に、次の条件が成り立つことと同値である：

${\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)}^{\frac{1}{x-y}}\ge \exp \left(\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}\right).$

さらに、これらの不等式が常に厳密であれば、$f$ は狭義の対数凸である。

$f$ が2回微分可能である場合、対数凸であるための必要十分条件は、$I$ 内のすべての $x$ に対して次が成り立つことである：

$f^{″}(x)f(x)\ge f^{\prime }(x{)}^2.$

この不等式が常に厳密であれば、$f$ は狭義の対数凸である。しかしその逆は偽であり、$f$ が狭義の対数凸であっても、ある $x$ に対して $f^{″}(x)f(x)=f^{\prime }(x{)}^2$ となることがあり得る。例えば $f(x)=\exp (x^4)$ の場合、$f$ は狭義の対数凸であるが、$f^{″}(0)f(0)=0=f^{\prime }(0{)}^2$ となる。

さらに、$f:I\to (0,\mathrm{\infty })$ が対数凸であるための必要十分条件は、すべての $\alpha \in ℝ$ に対して $e^{\alpha x}f(x)$ が凸であることである。

十分条件

• $f_1,\dots ,f_n$ が対数凸であり、$w_1,\dots ,w_n$ が非負の実数であるならば、$f_1^{w_1}\cdots f_n^{w_n}$ も対数凸である。
• $\{f_i{\}}_{i\in I}$ が対数凸関数の任意の族であるならば、$g=\underset{i\in I}{sup}{f}_i$ は対数凸である。
• $f:X\to I\subseteq 𝐑$ が凸であり、$g:I\to {𝐑}_{\ge 0}$ が対数凸かつ単調非減少であれば、$g\circ f$ は対数凸である。

性質

対数凸関数 $f$ は凸関数である。なぜなら、単調増加な凸関数である $\exp$ と、定義より凸関数である $\log \circ f$ との合成関数だからである。しかし、対数凸であることは、単に凸であることよりも厳密に強い性質である。例えば、二次関数 $f(x)=x^2$ は凸であるが、その対数 $\log f(x)=2\log |x|$ は凸ではない。したがって、二次関数は対数凸ではない。

例

• $f(x)=\exp (|x{|}^p)$ は、 $p\ge 1$ のとき対数凸であり、 $p>1$ のとき狭義の対数凸である。
• $f(x)=\frac{1}{x^p}$ は、すべての $p>0$ に対して、 $(0,\mathrm{\infty })$ 上で狭義の対数凸である。
• オイラーのガンマ関数は、正の実数に制限したとき狭義の対数凸である。事実、ボーア・モレルップの定理によれば、この性質を用いて、階乗関数の実数への拡張の中からオイラーのガンマ関数を特徴づけることができる。

関連項目

• 対数凹関数

参考文献

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. テンプレート:ISBN.
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