積分スケール

積分スケール (せきぶんスケール、テンプレート:Lang-en)は、エネルギー保有領域に対応する乱流の最大渦の長さスケールを表し、乱流の速度変動の自己相関関数から求めることができる。乱流運動を特徴付ける長さスケールとして積分スケール$l_e$、テイラーマイクロスケール$\lambda$、及び、コルモゴロフスケール$\eta$があるが、それぞれの関係は一般に、$l_e>\lambda >\eta$であることが知られている。

定義　

積分スケール$l_e$の厳密な定義は以下のように表される。

$l_e=\frac{\pi }{2\overline{u^2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{E(k)}{k}dk$

ここで、$\overline{u^2}$は流体速度のレイノルズ平均値からの変動の二乗平均平方根 (root mean square RMS) であり、速度変動のRMS値あるいは変動強度などと呼ばれる。$k$は波数である。$E(k)$は速度変動の3次元エネルギースペクトルである。

導出

縦速度相関関数$U_L$を以下のように定義する。

$U_L(r)=\overline{u_L(x+r)u_r(x)}$

積分スケール$l_e$は以下に示すように、縦速度相関関数$U_L$の積分で定義される。ここで、$r$は相対位置を表す。

$l_e=\frac{1}{U_L(0)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{U}_L(r)dr$

次に縦速度相関関数$U_L$に対して、フーリエ逆変換を用いると

$U_L(r)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{E}_{\parallel }(k_1)e^{i{k}_{1}r}dr$

ここで、$k_1$は波数を示し、$E_{\parallel }$は1次元縦エネルギースペクトル関数であり、

$E_{\parallel }=\frac{1}{2}{\int }_{k_1}^{\mathrm{\infty }}\frac{E(k)}{k}(1-\frac{k_1^2}{k^2})dk$

である。 これらを用いて縦速度相関関数$U_L$の積分で定義された$l_e$を変形すると、

$l_e=\frac{\pi }{2\overline{u^2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{E(k)}{k}dk$

が得られる。

他のスケールとの関係

等方性乱流の理論から、積分スケールとその他の乱流特性長さスケールは、次のように見積もることができる。

$\frac{l_e}{\eta }\approx R{e}^{\frac{3}{4}}$

$\frac{l_e}{\lambda }=R{e}^{\frac{1}{2}}$

レイノルズ数$Re$は、エネルギー保有領域の代表的長さ$l_0$、代表的な速度変動の大きさ$v_0$、動粘性係数$\nu$を用いて

$Re=\frac{v_0{l}_0}{\nu }$

と表される。各特性長さスケール間の関係式から解るように、レイノルズ数の増加とともに、各長さスケールの比は大きくなる。

エネルギー散逸率との関係

大スケールの運動と散逸率の関係を決定するために、「大きな渦から小さな渦へのエネルギー供給率は大きな渦の時間スケールの逆数に比例する」という仮定をする。大スケールの渦が持つ単位質量当たりの運動エネルギーは、おおよそ$u^2$で、そのうち小スケールへ供給されるエネルギーの割合は$\frac{u}{l_e}$に比例する。したがって、大スケールから小スケールへの供給量は単位時間当たり、$u^2\cdot \frac{u}{l_e}=\frac{u^3}{l_e}$となる。小スケールでは受け取ったエネルギー散逸率$ϵ$で散逸するが、散逸量が受け取るエネルギー供給量に等しいとすると

$ϵ\approx \frac{u^3}{l_e}$

となる。

参考文献

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