自由論理

自由論理（じゆうろんり、テンプレート:Lang-en-short）とは、古典論理よりも存在論的前提が少ない論理学の一形式である。自由論理では、いかなる対象も指示しないテンプレート:仮リンクを許容することがある。また、テンプレート:仮リンクをもつテンプレート:仮リンクを許容することもある。後者の性質をもつ自由論理は包含論理（ほうかんろんり、テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる。

説明

古典論理には、議論領域に何かが存在することを明らかに前提とする定理がある。次の古典的に妥当な定理を考えてみよう。

1. $\mathrm{\forall }xA\to \mathrm{\exists }xA$

2. $\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }rA(x)\to \mathrm{\forall }rA(r)$

3. $\mathrm{\forall }rA(r)\to \mathrm{\exists }xA(x)$

等号の理論における妥当なスキームで同じ特徴を示すものとして、次がある。

4. $\mathrm{\forall }x(Fx\to Gx)\wedge \mathrm{\exists }xFx\to \mathrm{\exists }x(Fx\wedge Gx)$

非形式的に言えば、Fを「=y」、Gを「ペガサスである」とし、yをペガサスに置き換えると、(4)は「ペガサスと同一のものはすべてペガサスである」から「ペガサスと同一のものが存在する」を推論できるように見える。問題は、指示しない定数を変数に代入することから生じる。実際のところ、一階述語論理の標準的な定式化には指示しない定数が存在しないため、これを行うことはできない。古典的には、∃x(x=y)は開いた等号公理 y=yから特称化（すなわち上の(3)）によって導出可能である。

自由論理では、(1)は次の式に置き換えられる。

1b. $\mathrm{\forall }xA\to (E!t\to A(t/x))$、ここで E! は存在述語である（自由論理の一部の定式化では E!t を ∃y(y=t) と定義できるが、すべての定式化でそうではない）

存在論的含意をもつ他の定理にも同様の修正が加えられる（例えば、存在汎化は $A(r)\to (E!r\to \mathrm{\exists }xA(x))$ となる）。

自由論理の公理化は、Theodore Hailperin（1957年）、ヤーッコ・ヒンティッカ（1959年）、テンプレート:仮リンク（1967年）、Richard L. Mendelsohn（1989年）によって与えられている。

解釈

テンプレート:仮リンクは1967年に次のように書いている。「実際のところ、自由論理は……単称存在についての理論、すなわちその概念のための一定の最小条件を定める理論として、文字通りに捉えることができる。」残りの論文が取り組んだ問いは、その理論の記述と、それが存在言明の必要十分条件を与えるかどうかの探究であった。

ランバートは、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインが、その有名な格言「存在するとは変数の値となることである」に適合する論理を精力的に擁護したが、その論理がラッセル流の記述理論の仮定によって補完された場合にのみ格言に適合するという皮肉を指摘した。ランバートはこのアプローチを批判する。哲学的に中立であるべき論理に過剰なイデオロギーを持ち込むからである。むしろ、自由論理はクワインの基準を提供するだけでなく、それを証明すらするとランバートは指摘する。これは強引な方法によって行われる。すなわち、$\mathrm{\exists }xFx\to (\mathrm{\exists }x(E!x\wedge Fx))$ と $Fy\to (E!y\to \mathrm{\exists }xFx)$ を公理として採用することで、クワインの格言を巧みに形式化する。したがってランバートは、彼の自由論理の構成を拒否するにはクワインの哲学を拒否しなければならず、それには何らかの論拠が必要であり、また、どんな論理を展開するにしても、その論理を受け入れるにはクワインを拒否しなければならないという条件が常に伴う、と論じる。同様に、クワインを拒否するなら自由論理も拒否しなければならない。これが、自由論理が存在論に対してなす貢献の内容である。

しかし自由論理の要点は、特定の存在論を含意しない形式主義を持つことにあり、単にクワインの解釈を形式的に可能かつ単純にするものである。この利点は、自由論理において単称存在の理論を形式化することで、その含意を容易に分析できる形で明らかにすることにある。ランバートはテンプレート:仮リンクと George Nahknikian が提案した理論の例を取り上げている。その理論とは、存在するとは自己同一であることだというものである。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• 対当の四角形
• テンプレート:仮リンク
• 論理記号の一覧

参考文献

• テンプレート:Cite book
• ———, 2001, "Free Logics," in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• ———, 1997. Free logics: Their foundations, character, and some applications thereof. Sankt Augustin: Academia.
• ———, ed. 1991. Philosophical applications of free logic. Oxford Univ. Press.
• Morscher, Edgar, and Hieke, Alexander, 2001. New essays in free logic. Dordrecht: Kluwer.

外部リンク

• テンプレート:Cite SEP