解釈 (モデル理論)

テンプレート:混同 テンプレート:CS1 config モデル理論における解釈（かいしゃく、テンプレート:Lang-en-short）とは、ある構造 M を別の（典型的には異なるシグネチャをもつ）構造 N の内部に「表現する」という考えを近似的に定式化する専門的な概念である。たとえば、構造 N のあらゆるテンプレート:仮リンクあるいは定義的拡張は、N において解釈をもつ。

多くのモデル論的性質は解釈可能性の下で保存される。たとえば、N の理論がテンプレート:仮リンクであり、かつ M が N において解釈可能であるならば、M の理論も安定である。

数理論理学の他の分野では、「解釈」という語がここで定義したものではなく、構造そのものを指すことがある。これら二つの「解釈」の概念は関連はあるものの、依然として別物である。同様に、「テンプレート:仮リンク」という語も、理論間で文を表現し証明することに関する、関連するが別個の概念を指す場合がある。

定義

構造 M の、構造 N におけるパラメータ付き（あるいはそれぞれパラメータなし）解釈とは、$(n,f)$ なる対のことである。ここで n は自然数であり、$f$ は Nⁿ の部分集合から M の上への全写像であって、M 上で一階論理式によりパラメータなしで定義可能な各集合 X ⊆ M^k の $f$-逆像（より正確には $f^k$-逆像）が、N において一階論理式によりパラメータ付き（あるいはそれぞれパラメータなし）で定義可能であるという条件を満たすものをいう。解釈 $(n,f)$ の n の値は文脈から明らかであることが多いため、写像 $f$ それ自体も解釈と呼ばれる。

M のパラメータなしで定義可能な各集合の逆像が N において（パラメータ付きまたはパラメータなしで）定義可能であることを確かめるためには、以下の定義可能集合の逆像を確認すれば十分である。

• M の領域
• M² の対角線
• M のシグネチャに属する各関係
• M のシグネチャに属する各関数のグラフ

モデル理論では、「定義可能」という語はしばしばパラメータ付きの定義可能性を指す。この慣例を用いる場合、パラメータなしの定義可能性は「0-定義可能」と表現される。同様に、パラメータ付きの解釈は単に解釈と呼ばれ、パラメータなしの解釈は0-解釈と呼ばれることがある。

双解釈可能性

L、M、N を三つの構造とし、L が M において解釈され、M が N において解釈されているとする。このとき、L の N における合成解釈を自然に構成することができる。二つの構造 M と N が互いに解釈可能である場合、二通りの方法で解釈を合成することで、各構造の自身への解釈が得られる。この観察により、位相空間間のホモトピー同値を思わせる、構造の間の同値関係を定義することができる。

二つの構造 M と N が双解釈可能であるとは、M の N における解釈および N の M における解釈が存在し、M の自身への合成解釈および N の自身への合成解釈がそれぞれ M および N において（M および N 上の操作とみなしたときに）定義可能となる場合をいう。

例

y ≠ 0 のとき (x, y) を x/y に写す Z × Z から Q への部分写像 f は、整数の環 Z における有理数の体 Q の解釈を与える（厳密には、この解釈は (2, f) である）。実際、この解釈は有理数を定義するためにしばしば用いられる。これが（パラメータなしの）解釈であることを見るには、Q における以下の定義可能集合の逆像を確認する必要がある。

• Q の逆像は、¬ (y = 0) で与えられる論理式 φ(x, y) によって定義される。
• Q の対角線の逆像は、テンプレート:Nowrap = テンプレート:Nowrap で与えられる論理式 テンプレート:Nowrap によって定義される。
• 0 および 1 の逆像は、それぞれ x = 0 および x = y で与えられる論理式 φ(x, y) によって定義される。
• 加法のグラフの逆像は、テンプレート:Nowrap = テンプレート:Nowrap で与えられる論理式 テンプレート:Nowrap によって定義される。
• 乗法のグラフの逆像は、テンプレート:Nowrap = テンプレート:Nowrap で与えられる論理式 テンプレート:Nowrap によって定義される。

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation（第4.3節）
• テンプレート:Citation（第9.4節）