部分構造 (数学)
数理論理学において、（誘導）部分構造（ぶぶんこうぞう、テンプレート:Lang-en-short）または（誘導）部分代数（ぶぶんだいすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、その定義域がより大きな構造の定義域の部分集合であり、そのうえでの関数と関係が部分構造の定義域に制限された構造をいう。部分代数の例には、部分群、テンプレート:仮リンク、部分環、部分体、体上の多元環の部分代数、あるいは誘導テンプレート:仮リンクなどがある。視点を移して、より大きな構造はその部分構造の拡大（extension）ないし上部構造（superstructure）と呼ばれる。
モデル理論では、「部分モデル（submodel）」という語は部分構造の同義語としてよく用いられる。特に、双方の構造がモデルであるような理論を文脈が示唆する場合にそうである。
関係が存在する場合（すなわち、順序群やグラフのような、シグネチャが関数的でない構造の場合）、部分代数の条件を緩め、弱部分構造（weak substructure、弱部分代数 weak subalgebra とも）上の関係が、より大きな構造から誘導される関係「以下」であることを許すことに意味がある場合がある。部分グラフは、この区別が問題となる例であり、「部分グラフ」の用語は実際に弱部分構造を指す。他方、順序群は、順序群となる順序群のあらゆる部分構造は誘導部分構造であるという特別な性質を持つ。
定義
同じシグネチャ σ の二つの構造 A と B が与えられたとき、A が B の弱部分構造（あるいは弱部分代数）であるとは、次を満たすときをいう。
- A の定義域が B の定義域の部分集合である。
- σ の任意の n 項関数記号 f に対して fA = fB|An である。
- σ の任意の n 項関係記号 R に対して RA RB An である。
A が B の部分構造（あるいは部分代数）であるとは、A が B の弱部分代数であり、さらに次を満たすときをいう。
- σ の任意の n 項関係記号 R に対して RA = RB An である。
A が B の部分構造であるとき、B は A の上部構造、あるいは特に A が誘導部分構造である場合には A の拡大と呼ばれる。
例
二項演算 + と ×、二項関係 <、および定数 0 と 1 からなる言語において、構造 (Q, +, ×, <, 0, 1) は (R, +, ×, <, 0, 1) の部分構造である。より一般に、順序体（あるいは単に体）の部分構造はまさにその部分体である。同様に、群の言語 (×, −1, 1) において、群の部分構造はその部分群である。他方、モノイドの言語 (×, 1) において、群の部分構造はそのテンプレート:仮リンクである。それらは群である必要はなく、また群であっても部分群である必要はない。
部分環は環の部分構造であり、部分代数は体上の多元環の部分構造である。
グラフの場合（一つの二項関係からなるシグネチャ）、テンプレート:仮リンクおよびその弱部分構造はまさにその部分グラフである。
部分対象としての部分構造
任意のシグネチャ σ に対して、σ 構造の誘導部分構造は、σ 構造とテンプレート:仮リンクのテンプレート:仮リンク（および σ 構造と σ 埋め込みの具体圏）における部分対象である。σ 構造の弱部分構造は、σ 構造と通常の意味での準同型の具体圏における部分対象である。
部分モデル
モデル理論では、理論 T のモデルである構造 M が与えられたとき、M のより狭い意味での部分モデルとは、M の部分構造であり、かつ T のモデルでもあるものをいう。たとえば、T がシグネチャ (+, 0) におけるアーベル群の理論であれば、整数の群 (Z, +, 0) の部分モデルは、アーベル群でもある部分構造である。したがって、自然数 (N, +, 0) は (Z, +, 0) の部分構造だが部分モデルではなく、他方で偶数 (2Z, +, 0) は部分モデルをなす。
その他の例:
- 代数的数は、代数閉体の理論において複素数の部分モデルをなす。
- 有理数は、体の理論において実数の部分モデルをなす。
- 理論 T のモデルのあらゆる初等部分構造もまた T を満たす。したがって部分モデルである。
理論のモデルとそれらの間の埋め込みからなる圏において、あるモデルの部分モデルはその部分対象である。