階数・退化次数の定理

テンプレート:出典の明記 数学の線型代数学の分野における階数・退化次数の定理（かいすう・たいかじすうのていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、最も簡単な場合、ある行列の階数 (rank) と退化次数 (nullity) の和は、その行列の列の数に等しいということを述べた定理である。次元定理とも呼ばれる。

行列

テンプレート:Mvar がある体上の テンプレート:Math2 行列（行の数が テンプレート:Mvar で、列の数が テンプレート:Mvar）であるなら、

テンプレート:Math2

が成立する。

線型写像

この定理は線型写像に対しても同様に適用される。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar をある体上のベクトル空間とし、テンプレート:Math2 をある線型写像とする。このとき、テンプレート:Mvar の階数は テンプレート:Mvar の像の次元であり、テンプレート:Mvar の退化次数は テンプレート:Mvar の核の次元である。したがって、

テンプレート:Math2

が成立する。あるいは、同値であるが

テンプレート:Math2

が成立する。これは実際、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が無限次元であることも許しているため、前述の行列の場合よりもより一般的な定理となっている。

この定理の内容は、テンプレート:仮リンクあるいは後述の証明を用いることで、次元のみならず、空間の間の同型写像に関する内容へと精練することができる。

より一般的に、線型代数学の基本定理によって関連付けられる像、核、余像、余核について考えることができる。

証明

ここでは2つの証明を与える。初めの証明では、線型写像のための用語・記号を用いるが、テンプレート:Math2（テンプレート:Mvar は テンプレート:Math2 行列）とすることにより、行列の場合にも示されることが分かる。2番目の証明では、階数が テンプレート:Mvar のある テンプレート:Math2 行列 テンプレート:Mvar に関する同次系について考え、テンプレート:Mvar の零空間を張る テンプレート:Math2 個の線型独立な解が存在することを陽的に示す。

第一の証明

テンプレート:Math2} を テンプレート:Math の基底とする。この基底を テンプレート:Mvar の基底に拡張して テンプレート:Math2} となるとする。テンプレート:Math の次元は テンプレート:Mvar であり、テンプレート:Mvar の次元は テンプレート:Math2 であるため、テンプレート:Math の次元が テンプレート:Mvar であることを示せば十分である。

テンプレート:Math2} が テンプレート:Math の基底であることを示す。テンプレート:Mvar 内の任意のベクトル テンプレート:Mathbf に対して、以下を満たすスカラーが一意に存在する：

$𝒗=a_1{𝒖}_1+\cdots +a_m{𝒖}_m+b_1{𝒘}_1+\cdots +b_n{𝒘}_n$

$\Rightarrow T𝒗=a_{1}T{𝒖}_1+\cdots +a_{m}T{𝒖}_m+b_{1}T{𝒘}_1+\cdots +b_{n}T{𝒘}_n$

$\Rightarrow T𝒗=b_{1}T{𝒘}_1+\cdots +b_{n}T{𝒘}_n\because T{𝒖}_i=𝒐$

したがって、テンプレート:Math2} は テンプレート:Math の生成系であることが分かる。

あとは、テンプレート:Math2} が線型独立であることを示せばよい。今

$c_{1}T{𝒘}_1+\cdots +c_{n}T{𝒘}_n=𝒐$

とする。

$c_{1}T{𝒘}_1+\cdots +c_{n}T{𝒘}_n=T\{c_1{𝒘}_1+\cdots +c_n{𝒘}_n\}$

より

$T\{c_1{𝒘}_1+\cdots +c_n{𝒘}_n\}=𝒐$

$\therefore c_1{𝒘}_1+\cdots +c_n{𝒘}_n\in \ker T$

すると、テンプレート:Math2} は テンプレート:Math を張るから、

$c_1{𝒘}_1+\cdots +c_n{𝒘}_n=d_1{𝒖}_1+\cdots +d_m{𝒖}_m$

とスカラー テンプレート:Mvar で表せる。しかし、テンプレート:Math2} は テンプレート:Mvar の基底であるから、線形結合の表示は一意であり、ゆえに、全ての テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar はゼロに等しい。したがって、テンプレート:Math2} は線型独立であり、テンプレート:Math の基底である。このことから、テンプレート:Math の次元は テンプレート:Mvar であることが分かり、目標は達成された。

より抽象的な言い方をすると、写像 テンプレート:Math2 は分裂する。

第二の証明

テンプレート:Mvar を、テンプレート:Mvar 個の線型独立な列を含む テンプレート:Math2 行列とする（すなわち、テンプレート:Mvar の階数は テンプレート:Mvar である）。以下では次を示す：

1. 同次系 テンプレート:Math2 に対して テンプレート:Math2 個の線型独立な解からなる集合が存在する
2. その他のすべての解は、それら テンプレート:Math2 個の解の線型結合で与えられる。

すなわち言い換えると、列ベクトルが テンプレート:Mvar の零空間の基底を形成する、ある テンプレート:Math2 行列 テンプレート:Mvar を、以下では作る。

一般性を失うことなく、テンプレート:Mvar の初めの テンプレート:Mvar 個の列が線型独立であると仮定できる。すると、テンプレート:Mvar 個の線型独立な列ベクトルを含むある テンプレート:Math2 行列の テンプレート:Math と、テンプレート:Math2 個の各列が テンプレート:Math の列ベクトルの線型結合で与えられるある テンプレート:Math2 行列の テンプレート:Math を用いて、テンプレート:Math2 と書くことができる。このことは、ある テンプレート:Math2 行列 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math2 が成立することを意味し（階数因数分解を参照）、したがって テンプレート:Math2 である。

テンプレート:Math2 次単位行列 テンプレート:Math2 に対し、

$X:=\left[\begin{array}{c}-B\\ I_{n-r}\end{array}\right]$

とする。この テンプレート:Mvar は

$AX=[A_1:A_{1}B]\left[\begin{array}{c}-B\\ I_{n-r}\end{array}\right]=-A_{1}B+A_{1}B=O$

を満たす テンプレート:Math2 行列であることに注意されたい。したがって、テンプレート:Mvar の テンプレート:Math2 個の各列は、テンプレート:Math2 の特殊解である。さらに、以下に示すように テンプレート:Math2 であれば テンプレート:Math2 であることから、テンプレート:Mvar の テンプレート:Math2 個の列は線型独立である：

$X𝒖=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}-B\\ I_{n-r}\end{array}\right]𝒖=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}-B𝒖\\ 𝒖\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\Rightarrow 𝒖=0.$

したがって、テンプレート:Mvar の列ベクトルは テンプレート:Math2 に対する テンプレート:Math2 個の線型独立な解の集合を構成する。

続いて、テンプレート:Math2 の解はどのようなものでも テンプレート:Mvar の列ベクトルの線型結合で表現されることを示す。このことを示すために、テンプレート:Math2 を満たす任意のベクトル

$𝒖=\left[\begin{array}{c}{𝒖}_1\\ {𝒖}_2\end{array}\right]$

を定める。テンプレート:Math の列ベクトルは線型独立であることにより、テンプレート:Math2 であれば テンプレート:Math2 が成立することに注意されたい。したがって、

$\begin{array}{cc}A𝒖=0& \Rightarrow [A_1:A_{1}B]\left[\begin{array}{c}{𝒖}_1\\ {𝒖}_2\end{array}\right]=0\\ & \Rightarrow A_1({𝒖}_1+B{𝒖}_2)=0\\ & \Rightarrow {𝒖}_1+B{𝒖}_2=0\\ & \Rightarrow {𝒖}_1=-B{𝒖}_2\\ & \Rightarrow 𝒖=\left[\begin{array}{c}{𝒖}_1\\ {𝒖}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-B\\ I_{n-r}\end{array}\right]{𝒖}_2=X{𝒖}_2\end{array}$

が成立する。これより、テンプレート:Math2 の解であるような任意のベクトル テンプレート:Mathbf は、テンプレート:Mvar の列ベクトルで与えられる テンプレート:Math2 個の特殊解の線型結合でなければならない、ということが証明される。さらにすでに、テンプレート:Mvar の列ベクトルは線型独立であることが分かっている。したがって、テンプレート:Mvar の列ベクトルは テンプレート:Mvar の零空間の基底を形成する。すると、テンプレート:Mvar の退化次数は テンプレート:Math2 である。テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の階数に等しいために、テンプレート:Math2 が成立する。QED.

再定式化と一般化

階数・退化次数の定理は、代数学の第一同型定理のベクトル空間の場合に対する内容の一つである。テンプレート:仮リンクへと一般化される。

より現代的な言葉を用いると、この定理はまた次のように記述することができる：

テンプレート:Math2

をベクトル空間の短完全系列とすると、

テンプレート:Math2

が成立する。ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の役割を担い、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math である。すなわち、

$0\to \ker T\stackrel{Id}{\to }V\stackrel{T}{\to }\mathrm{im}T\to 0$

である。

有限次元の場合、この定式化は一般化しやすいものとなる：

テンプレート:Math2

が有限次元ベクトル空間の完全系列であるなら、

$\sum _{i=1}^r(-1{)}^i\dim V_i=0$

が成立する。

有限次元ベクトル空間に対する階数・退化次数の定理は、線型写像の「指数」(index) を用いて定式化することもできる。有限次元の テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar に対し、ある線型写像 テンプレート:Math2 の指数は

テンプレート:Math2

で定義される。直感的に、テンプレート:Math は方程式 テンプレート:Math2 を満たす線型独立な解 テンプレート:Mathbf の個数であり、テンプレート:Math は テンプレート:Math2 を解くことができるように テンプレート:Mathbf について課すべき独立な制限の個数である。有限次元ベクトル空間に対する階数・退化次数の定理は、次の式と同値である：

テンプレート:Math2

考えている空間における線型写像 テンプレート:Mvar の指数は、テンプレート:Mvar について詳細な解析を行うことなく読み取ることができるということが分かっている。この影響は、より深い結果に対しても同様に現れる：アティヤ＝シンガーの指数定理によると、ある微分作用素の指数はその考えている空間の幾何によって読み取ることができるとされている。

参考文献

• テンプレート:Citation.

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語