非論理記号

非論理記号（ひろんりきごう、テンプレート:Lang-en-short）とは、数理論理学、特にモデル理論において、その解釈がモデルによって変わりうる形式言語の要素のことである。一階述語論理では、通常これは定数記号、関数記号、述語から成る。これは、論理演算子や量化記号のように、あらゆるモデルの下で同じ解釈を持つことが要求される論理定数とは対照的である。

非論理記号は、解釈によって意味が割り当てられて初めて意味・意味内容を持つ。したがって、非論理記号を含むテンプレート:仮リンクは解釈なしには意味を欠き、ある文はある解釈の下で真または偽であると言われる。これらの概念は一階述語論理の項目、特に構文論の節で定義・議論されている。

等号記号は非論理記号として扱われることもあれば、論理の記号として扱われることもある。論理記号として扱われる場合、あらゆる解釈は等号を真の等しさを用いて解釈することが要求される。非論理記号として解釈される場合は、任意の同値関係によって解釈されうる。

署名

テンプレート:Seealso 署名とは、非論理定数の集合に加えて、各記号を定数記号、特定のアリティn（自然数）を持つ関数記号、あるいは特定のアリティを持つ関係記号のいずれかとして識別する追加情報を組み合わせたものである。この追加情報は、非論理記号を用いて項や論理式をどのように構成できるかを制御する。例えば、fが二項関数記号でcが定数記号であるとき、f(x, c)は項であるが、c(x, f)は項ではない。関係記号は項の中で使うことはできないが、（アリティに応じて）1つ以上の項を組み合わせて原子論理式を作るのに使うことができる。

例えば、ある署名は二項関数記号+、定数記号0、二項関係記号<から構成されうる。

モデル

ある署名の上の構造はモデルとも呼ばれ、署名とその上の一階言語に対して形式的な意味論を与える。

署名の上の構造は、集合 $D$（議論領域として知られる）と、非論理記号のテンプレート:仮リンクから成る。すべての定数記号は$D$の要素によって解釈され、$n$項関数記号の解釈は$D$上の$n$項関数、すなわち領域の$n$重直積から領域自身への関数$D^n\to D$である。すべての$n$項関係記号は、領域上の$n$項関係、すなわち$D^n$の部分集合によって解釈される。

上記の署名の上の構造の例としては、整数の順序群がある。その領域は整数の集合$\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$である。二項関数記号$+$は加法によって、定数記号0は加法単位元によって、二項関係記号<は「より小さい」という関係によって解釈される。

非形式的意味論

数学的な文脈の外では、より非形式的な解釈を用いる方が適切であることが多い。

記述記号

ルドルフ・カルナップは、ある種の解釈の下にある形式体系の論理記号と非論理記号（彼はこれを記述記号と呼んだ）とを、それらが世界において何を記述するかによって区別する用語法を導入した。

記述記号とは、世界における事物や過程、あるいは事物の性質や関係を指示する形式言語の記号として定義される。これは、対象の世界における何ものも指示しない論理記号とは対照的である。論理記号の用法は言語の論理規則によって決定されるのに対して、記述記号が個体の特定の領域に適用される際には、意味は恣意的に付与される。

関連項目

• 論理定数

出典

注

• テンプレート:Citation

外部リンク

• Semantics section in Classical Logic (an entry of Stanford Encyclopedia of Philosophy)