1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

数学において、級数 テンプレート:Math は、絶対収束する幾何級数の初歩的な例である。

その和は以下のようになる。

\begin{matrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots & = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} \\ = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \\ = 1 \end{matrix}

また、[[2進数|テンプレート:Math進数]]では

のように、"テンプレート:Math" の後にテンプレート:Math を無数に並べて表すこともできる。

直接証明

他の級数と同様、無限和

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots

は、最初のテンプレート:Mvar 項の和

s_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n}}

の、テンプレート:Mvar が無限に大きくなるときの極限として定義される。

テンプレート:Mvar （上式の両辺）に [[2|テンプレート:Math]] を乗じることにより、有用な関係性がわかる。

2 s_{n} = \frac{2}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + \dots + \frac{2}{2^{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}} = 1 + s_{n} - \frac{1}{2^{n}}

両辺からテンプレート:Mvar を減じると次のような式になる。

s_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n}}

よって、 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} = 0$ より、 $\lim_{n \to \infty} s_{n} = 1$

この級数は、ゼノンのパラドックスの一つの表現として使われた（二分法の説明に当たる）^[1]。また、ホルスの目は、かつてこの級数の最初の6項を表したものだと考えられていた^[2]。