ルジャンドルの微分方程式

ルジャンドルの微分方程式（るじゃんどるのびぶんほうていしき）とは、アドリアン＝マリ・ルジャンドルにその名をちなむ、以下の形の常微分方程式の事である。

$\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)y^{\prime }\right]+\nu (\nu +1)y=0$

これはガウスの微分方程式において、α = ν + 1, β = -ν, γ = 1 と選び、x → (1-x)/2 と置き換えた場合と同じである。

この解は偶関数と奇関数になる事が知られていて、それぞれ以下のようになる。

• $y_e(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}}{(2n)!}{(-\frac{\nu }{2})}_n{\left(\frac{\nu +1}{2}\right)}_n{x}^{2n}$
• $y_o(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}}{(2n+1)!}{\left(\frac{1-\nu }{2}\right)}_n{(1+\frac{\nu }{2})}_n{x}^{2n+1}$

また特別なケースとして ν = 0, 1, 2, ... の場合に解は ν 次多項式となる。この多項式のことをルジャンドルの多項式と呼ぶ。

関連項目

• アドリアン＝マリ・ルジャンドル
• 常微分方程式
• ガウスの微分方程式
• スツルム＝リウヴィル型微分方程式
• ルジャンドルの多項式