分散関係

テンプレート:出典の明記 分散関係（ぶんさんかんけい、テンプレート:Lang-en-short）は、波において、角周波数（角振動数）と波数の間の関係。特に角周波数 テンプレート:Mvar を波数 テンプレート:Mvar の関数で表した式のことを言う。量子力学においては、波動関数の波数は粒子の運動量に、周波数はエネルギーに相当するので、運動量とエネルギーの間の関係式を粒子の分散関係と呼ぶことも多い。

概要

任意の波動はフーリエ変換により「特定の波数 テンプレート:Mvar のみを持つ単色波 テンプレート:Math の集まり」に分解できる。このとき、波数 テンプレート:Mvar と角周波数 テンプレート:Mvar が、系の性質に応じて満たす関係

$\omega =\omega (k)$

を、分散関係 テンプレート:En、または分散式 テンプレート:En という。波数と角周波数の対応関係が複数存在する場合もあり、それぞれの関係を波のモードと呼ぶことがある。

ここで「分散」とは波が伝わるときに波形が変化することをいう。

波動の性質を示すいくつかの重要な指標が分散関係から導かれる。

また、量子力学においてはエネルギーと周波数は比例する（$E=\hslash \omega$）ため、系のエネルギー固有値と波数の関係$$E=E(k)$$も分散関係と呼ばれる。

分散の有無

波数と角周波数が比例関係にない場合、成分ごとに位相速度が異なるため伝播の際に波形の変化を伴う。その系は分散的もしくは分散系であるという。

一方、波数と角周波数が比例関係

$\omega =vk$

で表されるとき、分散はない。

分散がない任意の波において、波を構成する各成分は

$e^{i(kx-\omega t)}=e^{ik(x-vt)}$

となり、すべての成分が波数に依らず一定速度 テンプレート:Mvar で進むため、それらによって構成される波は波形を変えずに伝播する。たとえば、室温の空気を伝わる音波はほとんど分散がないため、ある人が発した声はほとんど波形を変えずに聞き手の耳に届く。

位相速度と群速度

波の位相部分が一定 テンプレート:Math で伝わる速度 テンプレート:Math は、これを時間で微分して、

$v_{\mathrm{p}}=\frac{dx}{dt}=\frac{\omega }{k}$

で与えられる。これを位相速度という。また、一方で様々な波数を持つ波の集まりである波束において、その群速度は、

$v_{\mathrm{g}}=\frac{d\omega (k)}{dk}$

で与えられる。

分散がない場合には、

$v_{\mathrm{p}}=v,v_{\mathrm{g}}=v$

であるから、「分散がない」という条件は「位相速度と群速度が一致する」ことと等価である。

通常の波動方程式

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

に従う波動現象においては、テンプレート:Math を考えると、

$\omega =ck$

の関係が満たされており、分散がない波となる。

光学における分散

テンプレート:Main 自然光などの白色光をプリズムに通すと、透過した光は虹のように各色ごとに分光される。この現象は光学においては分散と呼ばれる。これは、白色光が角振動数の異なる電磁場から構成されており、媒質となるプリズム中においてそれぞれの屈折率 テンプレート:Mvar が角振動数 テンプレート:Mvar によって異なることに起因する。このとき、媒質中を伝播する電磁波の位相速度は、角振動数に依存する屈折率 テンプレート:Math と真空中の光速 テンプレート:Mvar を用いて、

$c(\omega )=\frac{c}{n(\omega )}$

と表される。このとき、対応する分散関係は

$\omega =c(\omega )k$

となる。分散関係という語は、光学におけるこの分散現象に由来する。

例

水面波

深さが テンプレート:Mvar である水の層において、重力と表面張力を考慮した水面波の分散関係は以下を満たす。

$\omega =|k|\sqrt{(\frac{g}{k}+\frac{\sigma k}{\rho })\tanh kh}$

ここで、テンプレート:Mvar は重力加速度、テンプレート:Mvar は表面張力の強さ、テンプレート:Mvar は水の密度である。

フォノン

固体におけるフォノンのモデルとして、2 種類の原子から構成される一次元の格子の振動を考える。このとき、この格子系の周期を テンプレート:Math とし、2つの原子の質量を テンプレート:Math、結合の定数を テンプレート:Mvar とすると、分散関係は

${\omega }^2=\frac{f}{m_{\mu }}(1\pm \sqrt{1-\frac{4m_{\mu }^2}{m_1{m}_2}{\sin }^{2}ka}),\frac{1}{m_{\mu }}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$

となる。符号が テンプレート:Math の場合が音響モードに対応し、テンプレート:Math の場合が光学モードに相当する。特に テンプレート:Math としたときの長波長極限において、音響モードでは、

$\omega =\sqrt{\frac{2f}{m_1+m_2}}a|k|$

光学モードでは

$\omega =\sqrt{\frac{2f}{m_{\mu }}}=\sqrt{\frac{2(m_1+m_2)f}{m_1{m}_2}}$

となる。

相対論的な電子

相対論な場の量子論において、電子はディラック方程式で記述される。このとき、電子は以下の分散関係を満たす。

$\omega =\sqrt{(ck{)}^2+(\frac{m{c}^2}{\hslash }{)}^2}$

ここで、テンプレート:Mvar は電子質量、テンプレート:Mvar は光速である。

参考文献

• テンプレート:Cite bookテンプレート:リンク切れ
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
  • テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• フーリエ変換
• 波動
• 位相速度
• 群速度
• 分散
• 分光
• 光学
• 固体物理学
• 流体力学