広田の方法

テンプレート:Differential equations 広田の方法（ひろたのほうほう、テンプレート:Lang-en-short）は、ソリトン方程式のソリトン解を求めるための方法の一つで、簡便にして強力なことで知られる。広田良吾が考案した。双線形化法 (bilinearization method)、直接法 (direct method) とも呼ばれる。

テンプレート:Math微分などによる従属変数の変数変換により、非線形偏微差分方程式を双線形方程式に変換する。変換後の従属変数はしばしばテンプレート:Mvar 関数と呼ばれる。テンプレート:Mvar 関数は行列式またはパフィアン (Pfaffian) で、双線形方程式はPlucker関係式である。

ソリトン方程式の可積分性を保ったまま方程式の独立変数を離散化する際にも重要な役割を果たしている。

広田微分

定義

二つの関数の組テンプレート:Math, テンプレート:Math に対して、

D_{x}^{m} D_{t}^{n} f \cdot g = {(\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x^{'}})^{m} (\frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial t^{'}})^{n} f (x, t) g (x^{'}, t^{'}) |}_{x^{'} = x, t^{'} = t}

で定義される二項演算を広田微分と呼ぶ。演算子テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar を広田のD演算子と呼ぶ。

実際の広田微分の計算例は次のようになる。

$D_{x} f \cdot g = f_{x} g - f g_{x}$
$D_{x}^{2} f \cdot g = f_{x x} g - 2 f_{x} g_{x} + f g_{x x}$
$D_{x}^{3} f \cdot g = f_{x x x} g - 3 f_{x x} g_{x} + 3 f_{x} g_{x x} - f g_{x x x}$
$D_{x}^{4} f \cdot g = f_{x x x x} g - 4 f_{x x x} g_{x} + 6 f_{x x} g_{x x} - 4 f_{x} g_{x x x} + f g_{x x x x}$
$D_{x} D_{t} f \cdot g = f_{t x} g - f_{t} g_{x} - f_{x} g_{t} + f g_{t x}$

双線形形式

二つの関数の組に、広田微分を作用させた場合、各項は二つの関数の導関数について、どちらも一次式の形になっており、これを双線形形式 (bilinear form) と呼ぶ。可積分系の非線形偏微分方程式は、適当な従属変数の変換の下、双線形形式の広田微分の方程式に変形できる。シンプルな形に表現された双線形形式の方程式に、広田微分の性質を組み合わせることで、見通しのよい計算で解を構成することが可能となる。

方程式	変数変換	双線形形式
KdV方程式: $u_{t} + 6 u u_{x} + u_{x x x} = 0$	$u = 2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \log f$	$D_{x} (D_{t} + D_{x}^{3}) f \cdot f = 0$
mKdV方程式: $u_{t} + 6 u^{2} u_{x} + u_{x x x} = 0$	$u = \frac{g}{f}$	$(D_{t} + D_{x}^{3}) g \cdot f = 0, D_{x}^{2} f \cdot f = 2 g^{2}$
非線形Schrödinger方程式: $i u_{t} + u_{x x} + 2 \| u \|^{2} u = 0$	$u = \frac{g}{f}$ 　（ $f$ は実数値関数、 $g$ は複素数値関数)	$(i D_{t} + D_{x}^{2}) g \cdot f = 0, D_{x}^{2} f \cdot f = 2 g g^{*}$
サイン・ゴルドン方程式: $u_{t x} = \sin u$	$u = 2 i \log \frac{f^{*}}{f}$ 　（ $f$ は複素数値関数)	$D_{x} D_{t} f \cdot f = - \frac{1}{2} (f^{* 2} - f^{2})$
戸田格子: $\frac{d^{2}}{d t^{2}} r_{n} = 2 e^{- r_{n}} - e^{- r_{n - 1}} - e^{- r_{n + 1}}$	$V_{n} = e^{- r_{n}} - 1, V_{n} = \frac{d^{2}}{d t^{2}} \log τ_{n}$	$\frac{1}{2} D_{t}^{2} τ_{n} \cdot τ_{n} = τ_{n + 1} τ_{n - 1} - τ_{n}^{2}$
KP方程式: $\frac{\partial}{\partial x} (u_{t} + 6 u u_{x} + u_{x x x}) + u_{y y} = 0$	$u = 2 \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \log f$	$(D_{x} D_{t} + D_{y}^{2} + D_{x}^{4}) f \cdot f = 0$