有限アーベル群の構造定理

有限アーベル群の構造定理（ゆうげんアーベルぐんのこうぞうていり、テンプレート:Lang-en-short）は、数学の特に群論における定理であり、有限アーベル群の基本定理（ゆうげんアーベルぐんのきほんていり）とも呼ばれる。任意の有限アーベル群が巡回群の直積に同型であることを主張するもので、テンプレート:Harvtxt によって示された。この定理はテンプレート:Ill2の特別の場合として、さらに単因子定理、すなわち主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理に一般化される。

定理の主張

この一意に定まる数列をテンプレート:Mvar の不変系、その各項をテンプレート:Mvar の単因子と呼ぶ。

この定理の証明法はいくつも存在する。筋の良い証明の一つは群の表現論を用いるもので、ほかにも例えば有限群の指標を用いるものもある。

以下に示すものは完全に群論の枠組みに収まるもので、分解の存在性は補題 1 による（それには補題 2 を用いる）。テンプレート:Math theorem

上記の分解において、テンプレート:Mvar の冪数はテンプレート:Math に等しく、またテンプレート:Mvar の位数は積テンプレート:Math に等しい。したがって、有限アーベル群の位数がその冪数以下となれば、それは巡回群である。特に、可換体の乗法群の任意の有限部分群は巡回群になる^[1]。
二つの有限アーベル群が同型となるのは、各位数の元の数がそれら二つの群において一致するときである。実際、このデータから単因子が求められる^[2]。「アーベル」であるという条件を欠かすことはできない: 例えば、任意の奇素数テンプレート:Mvar に対し、位数テンプレート:Math かつ冪数テンプレート:Mvar の群がふたつ存在するテンプレート:Sfn。それはアーベル群テンプレート:Math とテンプレート:Math 上のハイゼンベルク群である。