単位行列

テンプレート:出典の明記 テンプレート:Distinguish 数学、特に線型代数学において、単位行列（たんいぎょうれつ、テンプレート:Lang-en-short, テンプレート:Lang-de-short）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。

構成

単位行列はその対角成分に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を テンプレート:Math とすると次のように書ける。

$a_{i,j}=\{\begin{array}{cc}1& (i=j)\\ 0& (i\ne j)\end{array}$

ただし、1, 0 は係数環の単位元と零元である。

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

表記法

テンプレート:Mvar次単位行列は テンプレート:Mvar や テンプレート:Mvar と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に テンプレート:Mvar や テンプレート:Mvar とも書かれる。

対角行列の記法を用いて テンプレート:Math2 と書ける。

クロネッカーのデルタを用いると、テンプレート:Math2 と表すことができる。

性質

• 単位元である (テンプレート:Math2)
• 正方行列である
• 対角行列である
• 対称行列である
• 逆行列は自分自身である (テンプレート:Math2)
• 固有値はすべて1
• 特異値はすべて1
• 行列式は1 (テンプレート:Math2）

スカラー行列との関連

単位行列をスカラー倍したものをテンプレート:Visible anchorという。スカラーにスカラー行列を対応させる写像が単射ならば、係数環は行列群（線型代数群）あるいは行列環に部分群・部分環として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。特に可換体上の テンプレート:Mvar次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。

外部リンク

• テンプレート:Kotobank
• テンプレート:高校数学の美しい物語