半ノルム

絶対差函数 テンプレート:Math は平面 テンプレート:Math の半ノルムになる

数学の特に線型代数学および函数解析学における半ノルム（はんのるむ、テンプレート:Lang-en-short; セミノルム）は、ベクトル空間上で定義される絶対斉次劣加法的函数で、正定値と制約しないことによるノルムの一般化である。

半ノルムの値は非負かつ符号反転に関して対称であり、函数として テンプレート:Ill2かつ凸である。

各半ノルムには、適当な剰余類をとる商構成に誘導されるノルムが付随する。半ノルムからなる族を用いて、局所凸線型空間を定義することができる。

定義

ノルム体 テンプレート:Mathbf（ふつうは実数体 テンプレート:Mathbf または複素数体 テンプレート:Mathbf）上のベクトル空間 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar 上の半ノルムとは、写像 テンプレート:Math で絶対斉次性および劣加法性を持つものを言うテンプレート:Sfn。式で書けば、テンプレート:Math および テンプレート:Math を任意として

絶対斉次性

$p(\lambda x)=|\lambda |p(x)$

劣加法性

$p(x+y)\le p(x)+p(y)$

が成り立つ。ただし、テンプレート:Math は係数体の絶対値である。半ノルム テンプレート:Mvar を備えたベクトル空間 テンプレート:Mvar はテンプレート:Ill2 テンプレート:Math と呼ぶ。

例

• 任意のノルムは、半ノルムである。
• 各ベクトルを全て零ベクトルに写す零函数 テンプレート:Math は半ノルムである。
• 実または複素数値線型函数の絶対値は半ノルムである。
• 任意の正定値実対称双線型形式（または複素半双線型形式）テンプレート:Math が誘導する テンプレート:Math は半ノルムである。
• 位相空間 テンプレート:Mvar とそのコンパクト部分集合 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math と置けば連続函数 テンプレート:Math 全体の成す空間上の半ノルムが定まる。ここで、函数の値をコンパクト集合上でしかとっていないから、右辺の上限は存在して有限となることに注意せよ。
• 線型空間の併呑かつ絶対凸な部分集合 テンプレート:Mvar に対するミンコフスキー汎函数も半ノルムの例である。
• ノルム空間 テンプレート:Mvar の連続的双対 テンプレート:Mvar において テンプレート:Math と置けば、テンプレート:Mvar 上の半ノルム テンプレート:Mvar が定まる。
• 連続線型写像の空間 テンプレート:Math には、テンプレート:Math および テンプレート:Math が半ノルムとして定義できる。

性質

定義から、絶対斉次性の式で テンプレート:Math とおくことにより、直ちに テンプレート:Math, すなわち零ベクトルの半ノルムが零であることが従う。しかしノルムの場合と対照的に、非零ベクトル テンプレート:Math も半ノルムが テンプレート:Math となることが起きうるテンプレート:Efn。

劣加法性（三角不等式とも呼ばれる）において テンプレート:Math と置けば、絶対斉次性によって

半正定値性

$p(x)\ge 0(\mathrm{\forall }x\in V)$

が従う。また テンプレート:Math を考えることで、

テンプレート:Ill2

$p(x)=p(-x)(\mathrm{\forall }x\in V)$

が分かる。 また、三角不等式を テンプレート:Math に適用して

逆向き三角不等式テンプレート:Efn

$|p(x)-p(y)|\le p(x-y)$

の成立も確かめられる。 さらに、半ノルムがテンプレート:Ill2となることは、絶対連続性が正斉次性を導くことから従い、半ノルムの凸性も

$$p(tx+(1-t)y)\le p(tx)+p((1-t)y)=tp(x)+(1-t)p(y)(0\le t\le 1)$$

と確かめられる。逆に、絶対斉次凸函数は劣線型であり、したがって半ノルムになる（それを確かめるには、凸性を表す式で テンプレート:Math と置いて全体を テンプレート:Math 倍すればよい）。

商ノルム空間

テンプレート:Main 絶対斉次性と劣加法性から、テンプレート:Nowrapのベクトル全体の成す集合

$Z=\{x\in V:p(x)=0\}$

が テンプレート:Mvar の部分線型空間となることが従う。ここで テンプレート:Mvar 上の同値関係 テンプレート:Math が

$x\sim y\stackrel{\text{def}}{⟺}x-y\in Z$

によって定まる。この同値関係に関する同値類全体の成す集合 テンプレート:Mvar は、線型空間として商線型空間 テンプレート:Math であり、半ノルム テンプレート:Mvar に関してノルム空間となる。これを テンプレート:Mvar の半ノルム テンプレート:Mvar による商ノルム空間と言う。

このような構成は、例えば[[ルベーグ空間|Lテンプレート:Sup-空間]]の定義に用いられる。

半ノルム族

テンプレート:Main 函数解析学の分野において局所凸線型空間は、半ノルムの族 テンプレート:Math によってしばしば定義される。これによりもとの線型空間 テンプレート:Mvar に位相が入り、テンプレート:Mvar は位相線型空間となる。

そのためにまず、部分集合 テンプレート:Math が開であるとは、適当な テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math と有限個の添字 テンプレート:Math が存在して、任意の テンプレート:Mvar に対して

$p_{i_j}(y)<\epsilon ,j=1,\dots ,r⟹x+y\in U$

となるときに言うと定める。

この文脈において、特定の分離性条件を満足する半ノルム族が特に注目される。半ノルム族 テンプレート:Math が分離的 (separated) あるいは完全 (total) であるとは、各 テンプレート:Math に対し、少なくとも一つの半ノルム テンプレート:Mvar が存在して テンプレート:Math となるときに言う。線型空間 テンプレート:Mvar が先に述べた半ノルム族の定める位相に関してハウスドルフ（分離的）となるのは、ちょうど半ノルム族が分離的となるときである。そのような位相線型空間は局所凸空間と呼ばれるテンプレート:Sfn

参考文献

• テンプレート:Citation

関連項目

• ノルムの一般化: 準ノルム / テンプレート:Ill2 / Fノルム etc.

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:Nlab