単因子

代数学において、行列の単因子（たんいんし）とは、その「標準形」を定める不変量のことである。

定義

テンプレート:Mvar を単項イデアル整域（たとえば整数環 テンプレート:Math や複素係数の一変数多項式環 テンプレート:Math などのユークリッド整域）とする。また テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 成分の テンプレート:Math 行列全体とし、特に テンプレート:Math のときは、これを テンプレート:Math と表すことにする。すべての行列 テンプレート:Math は、ある可逆行列 テンプレート:Math と テンプレート:Math を使って次の形に変形できるテンプレート:Sfn。

$PAQ=\left(\begin{array}{ccccc}{e}_1& & & & \\ & \ddots & & & \\ & & e_r& & \\ & & & 0& \\ & & & & \ddots \end{array}\right)$

ここで テンプレート:Math かつ テンプレート:Math である。このような テンプレート:Math は単数倍を除いて一意に定まりテンプレート:Sfn、これを行列 テンプレート:Mvar の単因子という。右辺の行列は テンプレート:Mvar のスミス標準形 テンプレート:Langテンプレート:Sfn あるいは単因子標準形と呼ばれる。 この行列 テンプレート:Math は行列の基本変形を積み重ねることにより求められるテンプレート:Sfn。

性質

テンプレート:Mvar を体とする。

• 2つの行列 テンプレート:Math が相似であるための必要十分条件は、2つの行列 テンプレート:Math の単因子が一致することであるテンプレート:Sfn。

• 行列 テンプレート:Math の最小多項式は、行列 テンプレート:Math の最大次数の単因子（を規格化したもの）と一致するテンプレート:Sfn。

例

テンプレート:Mvar を複素係数の一変数多項式環 テンプレート:Math とする。次の行列 テンプレート:Math の単因子は可逆行列 テンプレート:Math として以下の行列を取れば テンプレート:Math とわかる。

$A=\left(\begin{array}{cc}x-\lambda & -1\\ & x-\lambda \end{array}\right)$

$P=\left(\begin{array}{cc}1& \\ x-\lambda & 1\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{cc}1& \\ x-\lambda & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}& 1\\ -1& \end{array}\right)$

$PAQ=\left(\begin{array}{cc}1& \\ & (x-\lambda {)}^2\end{array}\right)$

参考文献

• テンプレート:Cite book
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• テンプレート:Cite book
• 木村達雄、竹内光弘、宮本雅彦、森田純：「代数の魅力」、数学書房、ISBN 978-4-903342-11-5 (2009年9月10日)　の第2.4節と第2.5節。

関連項目

• 有限生成アーベル群の基本定理
• ジョルダン標準形
• 主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理

外部リンク

• テンプレート:MathWorld